22. Запишите приближенную формулу для диссипативной функции механической системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия.
Пусть на точки системы, когда она выведена
из положения устойчивого равновесия,
кроме потенциальных сил, начинают
действовать еще и силы вязкого
сопротивления
,
которые линейно зависят от скоростей
точек системы, то есть:
,
где
- постоянный коэффициент сопротивления.
Вычислим обобщенную силу сопротивления:
().
Преобразуем () с
помощью тождества Лагранжа:
.
В результате получим:
().
Введем функцию Ф, называемую диссипативной
функцией Релея:
().
По своей структуре, диссипативная функция Ф аналогичная кинетической энергии системы, только вместо массы точек в нее входят коэффициенты сопротивления .
Таким образом, подставив ()
в (), получаем
формулу для обобщенной силы:
.
В силу стационарности наложенных на
систему связей радиус-векторы точек
зависят только от обобщенной координаты,
то есть
.
Тогда:
и, следовательно, диссипативная функция:
.
Коэффициент B(q) разложим в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( ):
,
а затем учтем в этом разложении только
первый член, так как диссипативная
функция Релея уже содержит в себе
величину второго порядка малости
.
Обозначим этот член через «b»,
который назовем обобщенным коэффициентом
сопротивления. Размерность коэффициента
сопротивления зависит от размерности
обобщенной координаты.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Таким образом, окончательно приближенное
значение диссипативной функции Релея
можно представить в виде:
.
23. В чем состоит физический смысл диссипативной функции. Запишите соответствующую формулу.
Рассмотрим механическую систему, на которую действуют только потенциальные илы, и запишем для этой системы теорему о кинетической энергии и в следующем виде:
(), где:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Поставим полученные выражения в (),
получим:
или
().
При отсутствии внешнего возмущения, удвоенное значение диссипативной функции равно скорости убывания полной механической энергии системы.
Диссипативная функция Релея по определению
не может быть отрицательной. В частном
случае, когда все силы, действующие на
систему, потенциальны, диссипативная
функция может равняться нулю при
ненулевой скорости и ненулевой обобщенной
координате. Поэтому обобщенный коэффициент
сопротивления «b» может
быть большим или равным нулю (
).
Для гармонической системы (Ф = 0) из ()
получим, что:
.
24. Запишите дифференциальное уравнение малых движений системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления.
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, которая находиться в положении устойчивого равновесия. Пусть на точки системы, когда она выведена из положения равновесия, кроме потенциальных сил, начинают действовать диссипативные силы. Определим положение системы обобщенной координатой q, которую выберем так, что при равновесии .
Для составления дифференциального уравнения воспользуемся уравнением Лагранжа II рода:
.
Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, то обобщенная координата q и обобщенная скорость во все время движения будут оставаться малыми величинами, а поэтому для определения кинетической и потенциальной энергии, а также диссипативной функции воспользуемся приближенными выражениями: , , .
Используя эти выражения находим:
.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Поставляя эти значения в уравнение
Лагранжа, получим дифференциальное
уравнение малых колебаний системы с
одной степенью свободы с учетом сил
сопротивления:
,
где:
= const, круговая или
циклическая частота собственных
колебаний системы без учета сил
сопротивления,
= const, коэффициент
затухания. Размерности у «n»
и «k» одинаковые (
).
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
- ОЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение:
(
;
a = 1, b = 2n,
c =
)
Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами «n» и «k».
1. n<k
Случай малого сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня. Гармонические колебания.
Постоянные A,
,
и
определяются из начальных условий:
.
2. n=k
Случай критического сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня. Апериодическое движение.
Постоянные и определяются из начальных условий: .
3. n>k
Случай большого сопротивления. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня. Апериодическое движение.
Постоянные и определяются из начальных условий: .