План решения графическим методом злп
1) Составить математическую модель задачи вида (1).
2) Построить область допустимых решений (область Д), соответствующую системе ограничений задачи.
3) В множестве Д найти такую точку (х1,х2), координаты которой определяют максимальное или минимальное значение целевой функции Z(X). Для этого:
3.1. Построить нормальный вектор (с1,с2) наискорейшего возрастания целевой функции.
3.2. Провести прямую нулевого уровня l0: c1x1+ c2x2 =0, перпендикулярную вектору .
3.3. Если решается задача максимизации, то линию нулевого уровня l0 перемещать в направлении вектора до крайней точки области Д. Если решается задача минимизации, то линию нулевого уровня l0 перемещать в направлении, противоположном вектору до крайней точки области Д.
4) Определить оптимальный план Х=(х1,х2) и экстремальное значение целевой функции Zmax(min)= Z(Х)= Z (х1,х2).
При решении ЗЛП графическим методом возможны следующие ситуации:
Задача не имеет решения, если ОДР – пустое множество, т.е. Д=.
2. Решение (оптимальный план) единственное, если линия уровня и ОДР имеют единственную общую точку.
3. Оптимальных решений бесконечно много, если линия уровня параллельна одной из сторон многоугольника, изображающего ОДР.
В
этом случае говорят, что задача имеет
альтернативный
оптимум
и все ее решения Х=(х1,х2)
находят по формулам
где
,
А(а1,а2),
В(в1,в2)
– вершины ОДР, соответствующие стороне,
параллельной линии уровня.
4. Оптимальное решение не может быть определено, если целевая функция не ограничена (т.е. ОДР – неограниченная часть плоскости). В этом случае линия уровня перемещаясь в направлении вектора или в противоположном направлении, всегда будет пересекать ОДР, т.е. не будет крайней точки. Следовательно, целевая функция будет неограниченно возрастать или неограниченно убывать, т.е. Zmax+ или Zmin -.
5. Область допустимых решений Д состоит из единственной точки, в которой целевая функция достигает и максимального, и минимального значений одновременно.
2. Симплекс-метод. Симплекс-таблицы
Производя расчёты по симплекс-методу, нет необходимости выписывать все вычисления столь подробно, как мы это делали ранее. Оказывается, весь процесс можно записать в виде последовательности однотипно заполняемых таблиц, причём каждому шагу будет соответствовать переход к следующей таблице.
Для сокращения вычислительной работы по симплекс-методу используют специальные таблицы, называемые симплекс-таблицами, в которые заносятся коэффициенты при неизвестных из системы ограничений и из записи целевой функции.
Каждая строка симплекс-таблицы соответствует уравнению, выражающему базисные переменные через свободные. Последняя строка таблицы соответствует целевой функции.
Базисн. перем. |
Свободн. члены |
x1 |
x2 |
… |
xr |
xr+1 |
… |
xn |
|
x1 |
|
1 |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
|
x2 |
|
0 |
1 |
… |
0 |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xr |
|
0 |
0 |
… |
1 |
|
… |
|
|
Z(X) |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
r+1 |
… |
n |
|
