Методы решения задач линейного программирования

1. Графический метод решения задач лп

Наиболее простым и наглядным методом решения задач ЛП является графический (геометрический) метод. Он применяется для решения ЗЛП:

• заданных в неканонической форме (не обязательно в стандартной) и содержащих две переменные,

• заданных в канонической форме и содержащих n переменных при условии, что система ограничений содержит не более двух свободных переменных.

1.1. Графический метод решения злп с двумя переменными.

Этот метод используется при решении ЗЛП с двумя переменными следующего вида (в стандартной форме или к ней приводящейся):

Z(X) = c₁x₁+ c₂x₂ +с₀ max (min)

(1)

x₁, x₂ ≥0

Данный метод основывается на возможности графического (геометрического) изображения области допустимых значений системы ограничений, т.е. области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения.

Переведем задачу (1) на графический язык.

Допустимый план (решение) (х₁,х₂) геометрически представляет собой точку на координатной плоскости Х₁ОХ₂. Из аналитической геометрии известно, что прямая а₁х₁+а₂х₂=в₁ делит координатную плоскость Х₁ОХ₂ на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству а₁х₁+а₂х₂в₁, а другой – неравенству а₁х₁+а₂х₂в₁. Тогда каждое неравенство системы ограничений определяет полуплоскость вместе со своей граничной прямой, а область всех допустимых планов (ОДР) определяет пересечение полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству. Таким образом, ОДР задачи (1) геометрически представляет собой некоторую выпуклую область на плоскости Х₁ОХ₂.

В каждой точке области допустимых планов целевая функция принимает определенное значение. Задача сводится к отысканию точки или множества точек ОДР, в которых целевая функция достигает наибольшего (наименьшего) значения.

Рассмотрим линию уровня целевой функции, т.е. линию, вдоль которой функция Z(X) сохраняет постоянное значение: c₁x₁+ c₂x₂ +с₀=const. Т.к. это линейное уравнение с двумя переменными, то на плоскости оно задает прямую. При изменении уровня прямая перемещается параллельно самой себе. Параллельный перенос линии уровня по направлению нормального вектора прямой (с₁,с₂), выходящего из начала координат, будет увеличивать уровень, а в направлении, противоположном вектору , уровень будет уменьшаться. (вектор перпендикулярен линии уровня). То есть вектор (с₁,с₂) показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции, а тогда противоположный ему вектор - (-с₁,-с₂) указывает направление наискорейшего убывания целевой функции.

Таким образом, вышесказанное можно сформулировать в виде утверждений, которые лежат в основе графического метода решения ЗЛП:

1. Областью решения системы ограничений, т.е. ОДР, является выпуклая многоугольная фигура (область Д), которая получается в результате пересечения всех полуплоскостей, определяемых каждым неравенством системы ограничений задачи.

2. Если экстремум целевой функции Z(X) существует, то он достигается хотя бы в одной крайней (граничной) точке области Д.

3. При перемещении линии нулевого уровня, задаваемой уравнением c₁x₁+ c₂x₂ =0 в направлении нормального вектора (с₁,с₂) значение целевой функции Z(X) = c₁x₁+ c₂x₂ +с₀ возрастает, а при перемещении в противоположном направлении – убывает.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня.

Линией уровня называется прямая, задаваемая уравнением, c₁x₁+ c₂x₂= k, где k =const, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение.

При k =0 прямая l₀: c₁x₁+ c₂x₂ =0 называется линией нулевого уровня.

Все линии уровня данной задачи параллельны между собой и перпендикулярны нормальному вектору .

Чтобы решить ЗЛП вида (1) графически, нужно всех точек области допустимых решений (т.е. области Д) найти такую (такие), координаты которой (которых) давали бы максимум или минимум целевой функции Z(x₁,x₂ ), другими словами, среди всех прямых c₁x₁+ c₂x₂= k, проходящих через область Д, нужно выбрать ту, которая соответствует наибольшему или наименьшему значению k.