2. Понятие математической модели. Ее основные элементы

В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено эскизом, схемой, фотографией, графиком, таблицей и т.д.

Мы будем рассматривать только математические модели различных экономических процессов, которые описываются математической символикой и решаются с помощью соответствующих математических методов.

В экономической науке используют главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление с помощью математического аппарата (функций, уравнений, неравенств, их систем).

В теории оптимальных решений главная роль отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Модель управляемого объекта строят для того, чтобы применить какой-либо вычислительный аппарат для оптимизации функционирования этого объекта (максимально возможного повышения эффективности его работы). Разработка модели почти всегда связана с попыткой достижения двух противоречивых целей: как можно точнее отобразить реальные процессы и получить модель максимально простую, чтобы с ней легко было работать.

Для применения количественных методов исследования экономических процессов требуется построить математическую модель объекта оптимизации. При построении модели объект, как правило, упрощается, схематизируется и схема объекта описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо объекта или класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математического аппарата и математической символики.

Математические модели имеют ряд преимуществ перед другими видами моделей. К наиболее важным из них можно отнести следующие:

• широкий диапазон применения,

• низкая по сравнению с другими видами стоимость создания модели,

• быстрота получения результатов исследования при использовании электронно-вычислительной техники,

• возможность экспериментирования с исследуемым экономическим процессом,

• возможность проверки правильности выдвинутых предпосылок и условий поставленной экономической задачи.

Математическая модель любой экономической задачи включает в себя целевую функцию, систему ограничений и критерий оптимальности.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, себестоимость, рентабельность и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной.

Целевая функция – характеристика объекта из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования.

При решении задач оптимизации необходимо определить критерий оптимальности, т.е. признак, по которому проводят сравнительную оценку альтернатив и выбирают среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации.

Критерий оптимальности – это показатель, имеющий, как правило, экономический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражается при помощи целевой функции.

Критерий оптимальности операции выполняет такую важную функцию как сравнительная оценка выбранных стратегий (решений) до начала их реализации и на завершающем этапе операции. Он позволяет провести анализ полученных результатов и сделать вывод о том, какая из стратегий была бы оптимальной.

Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации, а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, - ограничениями.

Ограничения – это соотношения, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений, и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств (или их систем).

Решением математической модели экономической задачи, или допустимым планом, называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или допустимых планов, среди которых надо найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным.

Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее математическую модель, по структуре включающую в себя систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием.

Составление модели объекта требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных (оптимальных) решений.

При построении математической модели важно избежать, с одной стороны, чрезмерного упрощения экономического явления или процесса (т.к. излишнее упрощение не отражает реальной действительности), с другой стороны, - излишней его детализации и усложнения (т.к. это приводит к большому количеству переменных и затрудняет построение модели).