3. Алгоритмы поиска путей

3.1. Алгоритм поиска кратчайшего пути

Пусть a(x,y) – вес дуги (x,y)  (а(х,у)>0).  a(x,y) = ∞, если дуга (x,y) отсутствует в графе G. Для любых двух вершин s и t графа G могут существовать несколько путей, соединяющих вершину s с вершиной t. Путь, соединяющий вершину s с вершиной t, имеющий минимально возможную длину, называется кратчайшим путем из s в t. Алгоритм поиска в графе кратчайшего пути между двумя выделенными вершинами s и t при положительных длинах дуг предложил в 1959 г. Дейкстрой.

Перед началом выполнения алгоритма все вершины и дуги графа не окрашены. Каждой вершине в ходе выполнения алгоритма присваивается число d(x), равное длине кратчайшего пути из s в x, включающего только окрашенные вершины.

Процедура алгоритма Дейкстроя.

Шаг 1. Положить d(s) = 0  и  d(x) = ∞  для всех х, отличных от s. Окрасить вершину s и положить y=s  (y – последняя из окрашенных вершин).

Шаг 2. Для каждой неокрашенной вершины х следующим образом  пересчитать величину d(x):

d(x) = min {d(x), d(y)+ a(y, x)}.

Если d(x) = ∞   для всех неокрашенных вершин х, закончить процедуру алгоритма:  в исходном графе отсутствуют пути из вершины s в неокрашенные вершины. В противном случае окрасить ту из вершин х, для которой величина d(x) является наименьшей. Кроме того, окрасить дугу, ведущую в выбранную на данном шаге вершину х [для этой дуги достигался минимум в соответствии с выражением для d(x)]. Положить у = х.

Шаг 3. Если y = t, закончить процедуру: кратчайший путь из вершины s в вершину t – это единственный составленный из окрашенных дуг путь из s в t. В противном случае – перейти к шагу 2.

Отметим, что при окрашивании вершины окрашивается и некоторая заходящая в нее дуга, т.е. в каждую вершину заходит не более чем одна окрашенная дуга. Кроме того, окрашенные дуги не могут образовать контур, следовательно, окрашенные дуги образуют в исходном графе ориентированное дерево с корнем в вершине s. Это дерево называется ориентированным деревом кратчайших путей. Единственный путь от s до любой вершины х, принадлежащей этому дереву, является кратчайшим путем из s в х. Если вершина у принадлежит пути из s в х, то часть пути от s до у есть кратчайший путь из s в у (иначе существовал бы более короткий путь из s в х). Алгоритм Дейкстроя можно рассматривать как процедуру наращивания ориентированного дерева с корнем в вершине s. Когда в процессе достигается вершина t, процедура может быть остановлена. Но если мы хотим определить кратчайшие пути из вершины s во все вершины графа, то процедуру наращивания дерева следует продолжать, пока все вершины графа не будут окрашены, т. е. включены в ориентированное дерево кратчайших путей, если такое существует.

Пример. Построить дерево кратчайших путей для графа, изображённого на рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Зададим для данного графа матрицу, элемент которой, стоящий в строке x и в столбце y, равен a(x,y):

	s	a	b	c	d	e	t
s	0	8	6	7	1	2	∞
a	∞	0	∞	∞	∞	∞	2
b	∞	3	0	∞	∞	∞	∞
c	∞	∞	1	0	∞	∞	5
d	∞	∞	∞	2	0	∞	∞
e	∞	∞	∞	∞	3	0	∞
t	∞	∞	∞	∞	∞	4	0

Перед первым выполнением шага 2 окрашена только вершина s, кроме того, d(s)=0 и d(x)=∞ для всех х, отличных от s. 

Шаг 2.   y=s.

d(a)=min{d(a), d(s)+a(s,a)}=min{∞, 0+8}=8,

d(b)=min{d(b), d(s)+a(s,b)}=min{∞, 0+6}=6,

d(c)=min{d(c), d(s)+a(s,c)}=min{∞, 0+7}=7,

d(d)=min{d(d), d(s)+a(s,d)}=min{∞, 0+1}=1,

d(e)=min{d(e), d(s)+a(s,e)}=min{∞, 0+2}=2,

d(t)=min{d(t), d(s)+a(s,t)}=min{∞, 0+∞}=∞.

Величина d(d) является минимальной, поэтому вершина d окрашивается совместно с дугой (s,d), которая и определила величину d(d).  

Шаг 3. Поскольку вершина t остаётся неокрашенной, переходим к шагу 2. При этом y= d.

Результат первой итерации алгоритма зафиксирован во втором столбце следующей таблицы. Результаты последующих итераций отображены в последующих столбцах. [Первый столбец содержит начальные значения d(x) для всех х]

		s	d	e	c	b	a	t
s	0	–	–	–	–	–	–	–
a	∞	8	8	8	8	7	–	–
b	∞	6	6	6	4	–	–	–
c	∞	7	3	3	–	–	–	–
d	∞	1	–	–	–	–	–	–
e	∞	2	2	–	–	–	–	–
t	∞	∞	∞	∞	8	8	8	–

Полученное дерево кратчайших путей представлено на рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Исходное предположение алгоритма Дейкстры состоит в не отрицательности длин дуг  графа. В тех случаях, когда некоторые из дуг графа имеют отрицательные длины, используется модификация алгоритма Дейкстры, принадлежащая Форду. Отличие алгоритма Форда  состоит в следующем:

1. На шаге 2 пересчет величин d(x) производится для всех вершин, а не только для неокрашенных.

2. Если для некоторой окрашенной вершины х происходит уменьшение величины d(x), то с этой вершины и инцидентной ей окрашенной дуги окраска снимается.

3. Процедура алгоритма заканчивается только тогда, когда все вершины окрашены, и когда после шага 2 ни одно из чисел d(x) не меняется.

Обоснование алгоритма Форда

Процедура алгоритма Форда заканчивается только после того, как для всех х и у выполняется соотношение

d(x) + a(x,y) ≥ d(y).                                                                       (*)

(Иначе с вершины у была бы снята окраска сразу после окраски вершины х.) 

Пусть после окончания процедуры алгоритма Форда величина d(y) для некоторой вершины у не совпадает с длиной кратчайшего пути из s в у. Если в графе несколько таких вершин, то, для определенности, рассмотрим ту из них, кратчайший путь до которой из вершины s содержит наименьшее число дуг. Очевидно, что если величина d(z) для произвольной вершины z конечна, то она представляет собой длину некоторого пути, соединяющего вершины s и z. Поэтому по окончании процедуры алгоритма величина d(y) должна совпадать с длиной некоторого пути из s в у, и, в силу сделанного предположения, эта величина должна превышать длину кратчайшего пути между s и у. Пусть вершина х является предпоследней вершиной кратчайшего пути от s до у. Если таких путей несколько, то в качестве х берется та вершина, кратчайший путь до которой от вершины s включает наименьшее число дуг. В силу выбора вершин у и х величина d(х) должна совпадать с длиной кратчайшего пути из s в х, откуда   d(y) > d(x) + a(x,y). Однако последнее соотношение противоречит соотношению  (*). Что и требовалось доказать.

Замечание. Алгоритм Форда не решает задачу нахождения кратчайшего пути при наличии в исходном графе контура отрицательной длины. Что делать, если нет сведений о наличии или отсутствии в рассматриваемом графе контуров отрицательной длины? Тогда в процессе работы алгоритма Форда необходимо считать, сколько раз окрашиваются отдельные вершины. Как только это число для какой-либо вершины достигает N, где N - число вершин графа, процедуру алгоритма можно остановить: исходный граф содержит контур отрицательной длины. Если этого не происходит, алгоритм Форда завершается за конечное число шагов.