5.3. Алгоритм выбора паросочетания максимального веса

Взвешенной увеличивающей чередующейся цепью называется чередующаяся цепь, в которой общий вес рёбер, не входящих в паросочетание, превышает общий вес рёбер, входящих в это паросочетание. Цепь называется слабой чередующейся цепью, если в ней число рёбер паросочетания превышает число рёбер, не принадлежащих паросочетанию, нейтральной, если эти числа равны, и сильной, если рёбер паросочетания меньше.

Паросочетание М тогда и только тогда является паросочетанием с максимальным весом, когда для него не существует взвешенных увеличивающих чередующихся цепей.  (Без доказательства)

Пусть V = {V₁,V₂,…,V_z} – множество всех подмножеств вершин графа, включающих нечётное количество вершин. T_m – множество всех рёбер, обе концевые вершины которых принадлежат V_m;  T = {T₁,T₂,…,T_z}.  Количество вершин в V_m обозначим 2n_m+1.

Ни одно паросочетание не может содержать более чем n_m  рёбер, принадлежащих множеству T_m.

a(i,j) – вес ребра (i,j);

Представим задачу поиска паросочетания максимального веса как задачу линейного программирования:

Однако практически невозможно перечислить все ограничения этой ЗЛП даже для графа небольшой размерности. ЗЛП, двойственная по отношению к данной, имеет следующий вид:

[Двойственная переменная y_i соответствует ограничению (*), а двойственная переменная z_m соответствует ограничению (**).

Условия дополняющей нежёсткости для этой пары ЗЛП имеют вид:

Рассмотрим работу алгоритма поиска паросочетания максимального веса. Выполнение алгоритма начинается с нулевого паросочетания (все x(i,j) = 0) и допустимых значений двойственных переменных  y_i≥0, i X,  z_m≥0, m=1,2,…,z,  удовлетворяющих 1-му и 3-му условиям дополняющей нежёсткости. Только 2-е условие остаётся невыполненным. На каждой итерации алгоритма паросочетание и/или значения двойственных переменных изменяются так, что все условия прямой и двойственной ЗЛП и 1-е и 3-е условия дополняющей нежёсткости продолжают выполняться, а 2-е условие выполняется дополнительно по крайней мере ещё для одной двойственной переменной y_i. Поскольку имеется только |X| двойственных переменных y_i, то не более чем через |X| итераций все 2-е условия дополняющей нежёсткости оказываются выполненными. Благодаря выполнению условий дополняющей нежёсткости получаемое в результате паросочетание должно быть паросочетанием максимального веса.

Условие 2 нарушается только для открытых вершин, которым соответствуют положительные значения двойственных переменных. Определяется какая-либо открытая вершина v, такая, что y_v > 0, и используется алгоритм построения чередующегося дерева с корнем в вершине v. Если найдена увеличивающая цепь, то она сильная. Входившие в паросочетание рёбра цепи заменяются не входившими в него рёбрами этой же цепи. Увеличивается общий вес паросочетания, и в него включается ребро, инцидентное v. Для v выполняется 2-е условие дополняющей нежёсткости. Если найден нечётный цикл, то он стягивается в фиктивную вершину,  и алгоритм продолжает работу на преобразованном  графе. Если найдено венгерское дерево, то изменяются двойственные переменные таким образом, что  остаются выполненными все условия прямой и двойственной ЗЛП  и условия дополняющей нежёсткости,  за исключением, может быть, 2-го. В результате к чередующемуся дереву может быть добавлено не принадлежащее ему до сих пор ребро. В итоге или y_v  уменьшится до нуля, в результате чего выполнится 2-е условие, или v становится вершиной паросочетания.

Процедура алгоритма построения паросочетания максимального веса

Шаг 1. M₀ – пустое множество рёбер, а все двойственные переменные z_m, m=1,2,…,z, равны нулю. Выбрать такие начальные значения двойственных переменных y_v, i X, что y_i+ y_j ≥ a(i,j) для всех рёбер (i,j).  (Например, можно каждое y_i  принять равным половине максимального значения весов рёбер графа.) Положить k = 0 и обозначить исходный граф через G_k = (X_k,E_k).

Шаг 2. Выбрать в графе G_k  любую нефиктивную открытую вершину v с y_v > 0. Если такой вершины не существует, то перейти на шаг 6. В противном случае выделить в G_k  множество E^* рёбер (i,j), для которых выполняется условие . С помощью алгоритма построения чередующегося дерева построить дерево с корнем в вершине v, содержащее только рёбра из множества E^*. Если при этом найдётся увеличивающая чередующаяся цепь, то перейти к шагу 3. Если образовался нечётный цикл, то перейти к шагу 4. Если будет построено венгерское дерево, то перейти к шагу 5.

Шаг 3. Входящие в M_k рёбра цепи заменить не входящими в него рёбрами этой же цепи. Вершина v перестаёт быть открытой. На шаг 2.

Шаг 4. Положить k = k+ 1 обозначить нечётный цикл через C_k. Стянуть C_k  в фиктивную вершину a_k. Обозначить полученный граф через G_k = (X_k,E_k). Пусть M_k– паросочетание из рёбер M_k–1  принадлежащих G_k. В дальнейшем при расстановке пометок все вершины, которые заменены фиктивной вершиной a_k, помечать одинаково с a_k. Вернуться на шаг 2 и продолжить построение чередующегося дерева с корнем в вершине, являющейся отображением вершины v в G_k  (даже если эта вершина является фиктивной). Заметим, что разметка вершин и раскраска рёбер, полученные на последней итерации алгоритма построения чередующегося дерева, могут оказаться полезными на последующей итерации.

Шаг 5. Принять d₁ = min{y_i+ y_j – a(i,j)} где минимум берётся по всем рёбрам (i,j), таким, что i X₀ – внешняя вершина дерева, а j X₀ не помечена. Если множество таких рёбер пусто, то d₁ = ∞. Положить d₂ = min{y_i+ y_j – a(i,j)}/2, где минимум берётся по всем рёбрам (i,j), таким, что i,j X₀  – внешние вершины дерева, но они не стянуты в одну и ту же фиктивную вершину. Если множество таких рёбер пусто, то d₂ = ∞.. Принять d₃ = min{z_m}/2, где минимум берётся по всем множествам V_m мощность которых равна нечётному числу и которые стянуты в фиктивную вершину a_k, являющуюся внутренней вершиной дерева. Если множество таких вершин пусто, то d₃ = ∞.. Положить d₄ = min{y_i}, где минимум берётся по всем внешним вершинам i X₀  дерева. Если множество таких вершин пусто, то d₄ = ∞. И, наконец, определить d = min{d₁, d₂, d₃, d₄}. Изменить двойственные переменные y_i, z_m следующим образом:

1) y_i, соответствующие внешним вершинам дерева, уменьшить на величину d.

2) y_i, соответствующие внутренним вершинам дерева, увеличить на величину d.

3) z_m, соответствующие внешним фиктивным вершинам дерева в графе G_k, увеличить на величину 2d.

4) z_m, соответствующие внутренним фиктивным вершинам дерева в графе G_k, уменьшить на величину 2d.

При этом если d = d₁, то в E^* включить ребро (i,j), для которого достигается минимум в выражении для d₁. (Теперь это ребро может быть окрашено.) На шаг 2 – и продолжить построение чередующегося дерева с корнем в v. Если d = d₂, то в E^* включить ребро (i,j), для которого достигается минимум в выражении для d₂. (Теперь это ребро может быть окрашено, что приведёт к образованию нечётного цикла.) На шаг 2 – и продолжить построение чередующегося дерева с корнем в v. Если d = d₃, то какая-то из двойственных переменных z_m станет нулевой. Преобразовать в исходный нечётный цикл фиктивную вершину, соответствующую этой двойственной переменной. Положить k = k+1 полученный граф обозначить G_k = (X_k,E_k). Положить паросочетание M_k состоящим из всех рёбер паросочетания M_k–1 и n_i рёбер множества T_i, инцидентных 2n_i вершинам множества V_i (Оставшаяся одна вершина множества V_i инцидентна ребру паросочетания M_k, т.к. все внутренние вершины дерева в графе G_k–1 инцидентны рёбрам паросочетания M_k–1). На шаг 2 – и продолжить построение чередующегося дерева с корнем в v. Если d = d₄, то двойственная переменная y_i, соответствующая какой-то внешней вершине i, станет нулевой. Тогда в чередующемся дереве цепь, соединяющая корень v с вершиной i, является нейтральной увеличивающей цепью. В паросочетании M_k произвести замену входящих в него рёбер цепи не входящими рёбрами этой же цепи. Вершина v становится инцидентной ребру паросочетания, а вершина i становится открытой, что допустимо из-за равенства нулю y_i. На шаг 2.

Шаг 6. Рассмотреть все оставшиеся фиктивные вершины в полученном к этому моменту графе. Произвести преобразование фиктивных вершин в нечётные циклы в порядке, обратном их отысканию, и образовать паросочетание максимальной мощности на каждом из этих нечётных циклов. Полученное в результате паросочетание является паросочетанием максимального веса для исходного графа G₀. На этом работа алгоритма заканчивается.