§2. Некоторые свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство (проведём методом «от противного»).
Пусть
;
;
и
.
Выберем
и построим две
непересекающиеся окрестности
(см.
рис 10)
Из определения предела последовательности
Возьмем
,
тогда при n>N
имеем
.
Получаем противоречие (так как окрестности
не пересекаются по построению).
Определение.
Последовательность
называется ограниченной, если существует
число M>0
такое, что для всех n
выполняется неравенство
.
(
-ограничена
.
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Для неограниченной последовательности справедливо утверждение
Примеры ограниченных последовательностей:
{0;1;2;3;0;1;2;3…};
{1;
}
Теорема 2 Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство.
Пусть
.
Это значит, что
Вне
окрестности
могут находиться только элементы
(таких
элементов конечное число).
Обозначим
Тогда
выполняется
.
То есть последовательность
ограничена.
Теорема 3
Пусть
сходятся последовательности
и
,
причём
и
.
Тогда сходятся последовательности
.
Если
,
то сходится и последовательности
Причём имеют место формулы
(1)
(2)
(3)
(4)
Докажем утверждение (1).
По предположению теоремы имеем
Выберем
Для
оценим модуль разности
Мы
доказали, что
.
То
есть доказано, что
.
Следствие из теоремы 3.
Постоянный
множитель можно выносить за знак предела
Для
доказательства достаточно отметить,
что
и предел постоянной последовательности
равен самой константе с
.
Пример.
Вычислить
.
Отметим, что
непосредственно теорему 3 здесь применить
нельзя, однако, после преобразований,
получаем
С
огласно
замечанию на с.15
.
Аналогично доказывается, что
для любого к=1,2,3,…
§3. Подпоследовательности
Пусть
имеется последовательность
и
пусть числа
образуют
возрастающую последовательность
натуральных чисел.
Тогда
называется подпоследовательностью
последовательности
.
Нетрудно доказать, что, если последовательность сходится, то сходится и любая её подпоследовательность, причём к тому же самому пределу.
Определение. Точка а называется предельной точкой последовательности , если в любой окрестности этой точки находится бесконечно много элементов последовательности .
Отметим
отличие между определением предела и
определением предельной точки. Если
,
то не только в любой -
окрестности находится бесконечно много
«представителей» последовательности,
но и за пределами этой окрестности
находится конечное число элементов
последовательности.
Замечание. Можно проверить, что, если а- предельная точка последовательности, то а является пределом некоторой подпоследовательности данной последовательности.
Пример.
1.
,
.
Последовательность сходится, по этому
у неё только одна предельная точка а=0
(предел этой последовательности).
2.
.
Последовательность расходится. Данная
последовательность имеет три предельных
точки
.
Упражнения.
«Придумать» последовательность, имеющую бесконечно много предельных точек.
«Придумать» последовательность, предельными точками которой являются все действительные числа.
«Придумать» последовательность, не имеющую конечных предельных точек.
Приведем без доказательства теорему.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса).
Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.