Глава 2. Отображения и функции

§1. Отображения и функции

Пусть заданы множества  и F. Отображением E в F. или функцией, определенной на Е со значениями в F, называется соответствие f, которое каждому элементу х из Е относит некоторый элемент у из F, обозначаемый f(х).

Обозначение Е F показывает, что f является отображением Е в F.

При этом для каждого данного хЕ элемент у=f(x) множества F называется образом элемента хЕ при данном отображении, или значением данной функции для данного значения ее аргумента х. Далее будем предполагать, что Е и F являются подмножествами множества действительных чисел R, или совпадают с множеством R. То есть мы будем рассматривать действительные функции действительного аргумента.

Множество всех значений хЕ, для которых определена функция f(х) будем называть областью определения этой функции.

Множество всех тех элементов уF множества F, которые являются значениями функции у=f(x) хотя бы для одного хЕ называется множеством значений функции у=f(x). Будем обозначать множество значений функции f(Е) и называть это множество образом множества Е.

Если f(E)=F , то есть любой элемент множества F является значением функции f(x) при хЕ, то говорят, что функция y=f(x) отображает Е на F.

Например, если y=sinx; E=[0;2]; F=[-1;1], то y=sinx – отображение E на F.

Если f(E)=F и f(x₁)f(x₂) при любых х_1,х₂Е и х₁х₂, то отображение у=f(x) множества Е на множество F называется взаимно однозначным, или биективным, или биекцией. Тогда каждый элемент множества F является образом при отображении f некоторого единственного элемента множества Е.

Упражнения:

Доказать, что являются биекциями отображения:

а) у=ах+в (а0); Е=R; F=E

б) у=cosx; Е=[ ]; F=[-1;1]

в) у=tgx; Е=(- ); F=R

г) у=lnx; Е=(0;+); F=(-;+)

Определение. Если у=f(х)–функция с областью определения Е и множеством значений F, являющаяся биекцией, то обратной функцией х=f^--1(y) будем называть отображение из F в Е, ставящее в соответствие каждому элементу у из множества F его «прообраз», то есть такой элемент хЕ, что у=f(х).

Замечание. Из-за того, что отображение у=f(х) является взаимно однозначным, каждый элемент уF имеет прообраз хЕ, причем этот прообраз единственен. Отметим, что при сделанных предположениях обратное отображение опять взаимно однозначно (т.е. у самого обратного отображения опять есть обратное). Причем обратной к функции х=f^--1(у) является сама функция у=f(х) ((f ^-1)^-1=f).

Примеры.

1) у=sinx=f(x)

E=[- ]; F=[-1;1]

х= (y)=arcsiny

2) y=ax+в=f(x)

E=(-;); F=(-;)

х=

3)y=e^x=f(x) х=lny=f^-1(y)

E=(-;) F=(0;+)

Определение.Пусть Е,F,G–три множества; f–некоторое отображение Е в F; g–отображение F в G.

Композицией g f называется отображение Е в G, определенное формулой g f (x)=g(f(x)). В данном случае говорят, что на множестве Е задана сложная функция, обозначенная g(f(x)).

Заметим, что запись g f производится в порядке, обратном тому, в котором производится операции:

Е F G

Областью определения отображения g f(x) является или вся область определения отображения f, или та ее часть, в которой содержатся значения f(x), не выходящее из области определения отображения g.

Например, пусть y= . Так как областью определения отображения являются только u0, то обдастью определения сложной функции у(х) являются только те значения х, для которых , то есть cosx=1, отсюда х=к, где кZ.