§4 Точные грани множеств

Определение. Пусть А–некоторое подмножество множества действительных чисел R (АR). Действительное число называется точной верхней гранью (супремумом) множества А, если

1) для всех хА;

2)для любого R такого, что х⁰ существует по крайней мере один элемент хА такой, что хх⁰.

Понятно, что множество А «расположено» на числовой прямой левее точки . Причем –самое «маленькое» действительное число, удовлетворяющее этому свойству (хА; х ).

Если –супремум множества А, то мы будем это записывать следующим образом =supA.

Отметим, что если множество а содержит свой «наибольший» элемент, то супремум совпадает с этим максимальным элементом:

sup[a;в]=в; sup(a;в]=в

Но понятие супремума определено и для тех множеств, для которых не определено понятие максимального элемента.

Sup(a;в)=в

Определение. Элемент R называется точной нижней гранью inf A множества А (инфимумом А), при условиях:

1.хА х =inf A;

2.х⁰R : х⁰  хА : х (для любого действительного числа х⁰, такого, что х⁰ существует по крайней мере один элемент хА такой, что хх⁰).

Точные верхние грани могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству А.

Пример.

Если А=(-2;4)–интервал, то sup A=4А; inf A=-2A.

=1;2;3;… inf =1; sup=+

Приведем без доказательства теорему о существовании точных граней.

Теорема. Пусть R–множество всех действительных чисел и АR–непустое ограниченное сверху множество. Тогда существует конечная точная верхняя грань supА.

Аналогично, если А–ограниченное снизу непустое множество, то существует конечная точная нижняя грань inf A.

Примеры для самостоятельного решения

1.Доказать, что множества:

эквивалентны.

2. Доказать, что множество точек интервала эквивалентно множеству всех действительных чисел.

3. Доказать, что множество четных натуральных чисел эквивалентно множеству нечётных натуральных чисел.

Доказать, что АВ.

4. Доказать, что множество точек плоскости с целыми координатами счетно.

5. Доказать, что множество точек трехмерного пространства с целыми координатами A={(x; y; z)R³: xZ; yZ; zZ} счетно.

6. Доказать, что множество точек окружности без одной точки эквивалентно множеству точек прямой.

7. Доказать, что множество многочленов вида f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ произвольной степени n=0, 1, 2, … с рациональными координатами a₀, a₁, a₂, …, a_n счетно.

8. Доказать, что множество точек сферы без одной точки эквивалентно множеству точек плоскости.

9.Доказать, что множество натуральных чисел =1;2;3;4;… ограничено снизу, но не является ограниченным сверху.

10. Доказать, что множество целых чисел Z={0;±1;±2;…} не является ограниченным ни снизу, ни сверху.

11. Доказать ограничеснность следующих множеств:

а)интервал (а;в)={хR  axв}; отрезок [а;в]=xR  а х в,

б)полуинтервалы [a;в)=хR  а хв; (а;в]=хR  ах в.

12. На множестве рациональных чисел привести примеры подмножеств: a) ограниченного; б) ограниченного сверху, но не ограниченного снизу.