§ 2 Эквивалентность множеств

Определение. Множества А и B называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (другими словами всякому элементу соответствует, причем единственный элемент , и наоборот).

Эквивалентность множеств мы будем символически записывать A~B.

Примеры:

1. Если .

Взаимно однозначное соответствие устанавливается, например, так , или

2. Множество натуральных чисел эквивалентно множеству четных положительных чисел (взаимно однозначное соответствие схематически показано стрелками):

Между двумя конечными множествами (состоящими каждое из конечного числа элементов) можно установить взаимно-однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба этих множества состоят из одного и того же числа элементов.

Бесконечное множество, как это видно из второго примера, может быть эквивалентно своему собственному подмножеству. (Собственным подмножеством называется подмножество множества А, не совпадающее с самим множеством А)

Определение. Множество, эквивалентное, множеству натуральных чисел N, называется счетным множеством.

Замечание: Чтобы доказать счётность множества А, его элементы достаточно «пронумеровать», т.е. установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества А и элементами множества натуральных чисел.

Например, множество А можно записать в виде

Пример. Докажем счетность множества рациональных чисел.

Без ограничения общности доказательства будем считать, что всякое рациональное число записано в виде несократимой дроби

Запишем рациональные числа в виде бесконечной таблицы.

«Нумерация» элементов этой таблицы показана «стрелками». Двигаясь по намеченному пути для каждого элемента «подберем» натуральное число (его номер при обходе). Причем соответствие между рациональными числами из таблицы и натуральными «номерами» взаимно однозначно.

Пример: Докажем, что множество действительных чисел R не является счётным.

Доказательство. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

где - некоторое целое число (положительное или отрицательное); знаки после запятой - это любые цифры .

Доказательство.Его проведем методом «от противного». Предположим, что множество всех действительных чисел счетно и нам удалось «пронумеровать» все его элементы.

Построим действительное число, которому «не досталось» номера при нумерации Для этого выберем Получаем для любого k, так как отличается от каждого из хотя бы одним знаком.

Но это противоречит нашему предположению, что мы пронумеровали все действительные числа. Утверждение доказано.

§3. Некоторые подмножества множества действительных чисел

Окрестностью (-окрестностью) точки x₀R будем называть интервал вида (x₀ - , x₀ + ) (рис.4).

Другими словами точки -окрестности – это все точки, которые находятся от точки х₀ на расстоянии меньше  (очевидно, что здесь 0).

Множество АR называется ограниченным снизу,

если  CR  хА  хС (рис.5) (существует константа С такая, что для всех элементов х из А выполняется неравенство x  С. Эта константа С называется нижней гранью множества А).

Множество АR называется ограниченным сверху, если

 СR  xA  x C (рис. 6)

Множество АR называется ограниченным, если это множество ограничено и сверху и снизу. ( С₁R; С₂R  хА  С₁ х С₂) (рис.7).