§ 6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Сформулируем без доказательства важнейшие свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема
1. Если функция
y=f(x)
непрерывна на отрезке
,
то она ограничена на нем.
(
).
Замечание. В этой теореме отрезок нельзя заменить на интервал.
Например,
функция y=tgx
непрерывна на интервале
,
но не является ограниченной на этом
интервале.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наименьшего и своего наибольшего значений (рис. 26).
(
)
Замечание. В теореме утверждается существование точек с1 и с2, но не утверждается их единственность.
Например,
функция y=sin
x,
непрерывная на отрезке
достигает своего максимального значения
1 на указанном отрезке 5 раз.
.
Теорема
3 (Больцано-Коши).
Если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
и на концах отрезка имеем f(a)=A;
f(b)=B,
где
,
то для любого числа
,
заключенного между А и В найдется хотя
бы одна точка
такая, что
.
(рис. 27)
Замечание: Теорема не утверждает, что точка С единственна. В частности, в случае показанном на рисунке 27, таких точек три.
Следствие из теоремы 3.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка такая, что f(с)=0.
Задания для самостоятельного решения
1. «Расписать» с помощью логических символов определения:
2. Привести пример ограниченной расходящейся последовательности.
3. «Придумать» последовательность, для которой все натуральные числа {1;2;3;4;5;…..} являются предельными точками.
4.
Доказать, что если последовательность
имеет конечный предел:
,
то число A
будет единственной
предельной точки данной последовательности.
5. Доказать, что, если множество ограничено сверху и ограничено снизу, то оно ограничено в обычном смысле.
Дать определение счетного множества. Привести примеры счетных множеств, примеры несчетных множеств.
Доказать, что множество иррациональных чисел несчетно.
Задача: Пусть
-
подмножество множества действительных
чисел, причем supA=infA=1.
Найдите множество А.Дайте определение взаимно однозначного отображение y=f(x). Приведите пример.
Докажите, что, если последовательность
не
ограничена, то из нее можно выбрать
последовательность, имеющую предел
.Найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Показать на примерах, что, если
то предел
может быть равен нулю, бесконечности,
конечной константе (неопределенность
).Пусть
при
.
Найти f(x).Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению
.Показать, что функция
ограничена на всей числовой оси.Доказать (привести пример), что из существования предела
не следует существование пределов
.Показать на примерах, что
- неопределенность, т. е., если
то предел
может принимать значения и 0, и 1, и
и многие другие.Записать определения для бесконечно малых величин
.
Сформулируйте определения функции y=f(x) непрерывной в точке а (по Гейне; по Коши).
Разъясните геометрический смысл непрерывности функции в точке.
«Придумайте» пример, доказывающий, что из непрерывности произведения функции f(x)g(x) в точке, не следует непрерывность в этой точке функций f(x) b g(x).
Дайте определение точки разрыва функции y=f(x). Какие типы разрывов Вы знаете? Покажите на примерах.