§3. Свойства непрерывных функций, связанные с арифметическими операциями
Теорема.
Если функции f(x)
и g(x)
непрерывны в точке a,
то в этой точке непрерывны и функции
Если
Доказательство.
Функции f(x)
и g(x)
непрерывны в точке a,
то есть существуют конечные пределы
По свойству конечных пределов
Но 1-4 – это и есть непрерывность соответствующих функций в точке a.
С помощью метода математической индукции можно доказать непрерывность суммы и произведения любого числа слагаемых и сомножителей.
Примеры.
1.Функция
как частное двух непрерывных функций
непрерывна в любой точке
,
где
,
то есть в любой точке области определения
функции
.
2.Функция
непрерывна во всех точках действительной
оси, как произведение n
непрерывных сомножителей.
3.Многочлен
.
4.Дробно-рациональная
функция
непрерывна всюду, где знаменатель
отличен от нуля.
§ 4. Непрерывность сложной и обратной функции
Теорема
1. Пусть даны
две функции y=f(u)
и u=g(x).
Если u=g(x)
непрерывна в точке
,
а функция f(u)
непрерывна в соответствующей точке
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Доказательство.
Из непрерывности функции
в
точке
имеем
По теореме о пределе сложной функции
существует. Но функция f(u)
непрерывна в точке
,
то есть существует предел
Следовательно
,
а это и означает непрерывность сложной
функции y=f(g(x))
в точке
.
Следствие.
Если функция g(x)
непрерывна в точке
;
функция f(u)
непрерывна в точке
,
то можно переходить к пределу под знаком
непрерывной функции, то есть
.
Без доказательства сформулируем теорему.
Теорема 2. Пусть y=f(x) монотонно возрастает на интервале (a;b) и непрерывна на нем.
Тогда
обратная функция
также монотонно возрастает и непрерывна
на интервале
.
Аналогичная теорема справедлива для монотонно убывающей непрерывной функции.
Примеры.
1.Функция
y=sinx
монотонно возрастает и непрерывна на
интервале
,
принимая значения от
.
На
интервале от –1 до 1 получаем обратную
функцию
,
которая принимает значения от
.
Функция непрерывна в своей области определения (-1;1).
2.Функция
определена и монотонно возрастает на
всей числовой прямой и принимает значения
на множестве
.
Обратная
функция x=lny
непрерывна и определена на промежутке
,
принимая значения на всём множестве
действительных чисел
.
§ 5. Точки разрыва функции и их классификация
Определение
1. Пусть
функция y=f(x)
непрерывна в некоторой проколотой
окрестности точки
,
но разрывна в самой точке a,
тогда точка a
называется точкой разрыва этой функции.
Пример.
Функция
непрерывна, как частное двух непрерывных
функций всюду кроме точки x=0.
По определению точка x=0
является точкой разрыва функции
,
так как функция непрерывна в проколотой
окрестности точки x=0,
но в самой точке функция не определена,
т. е. разрывна.
Отметим,
что в данном случае существует предел
,
если определить новую функцию
то мы получаем функцию, непрерывную всюду (в том числе и в точке x=0). Мы приходим к определению одного из видов точек разрыва.
Определение. Точка разрыва функции y=f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существует предел функции в этой точке, но он не равен значению функции в точке.
Точки устранимого разрыва «получаются» в тех случаях, когда функция, либо не определена в указанной точке (рис. 22), либо принимает значение, отличное от предела функции в точке (рис.23)
Пример.
Рассмотрим функцию
График этой функции имеет вид (рис.24)
Здесь разрыв не удаётся «устранить», «подправив» значение функции только в одной точке и мы приходим к ещё одному типу разрыва.
Определение 3. Пусть a- точка разрыва функции y=f(x), причем определены конечные односторонние пределы
тогда
говорят, что a-точка
разрыва первого рода.
Определение 4. Точки разрыва, не являющиеся точками устранимого разрыва или разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода.
Примеры.
1.
-
функция непрерывная на действительной
оси при
.
В точке x=0
здесь разрыв второго рода. Так как
.
(рис. 25).
2.Функция
разрывна только в точке x=3.
Предел
не существует, ни конечный, ни бесконечный
(проверьте!).
Поэтому
функция
имеет в точке x=3
разрыв второго рода.