§ 8. Первый замечательный предел

Доказать, что (в математике это равенство называется «первый замечательный предел»).

Доказательство.

Рассмотрим круг радиуса R=1 с центром в точке О (рис.19). Зафиксируем точку А на окружности.

Пусть радиус ОВ образует с прямой ОА угол х. Нас интересует предел при , поэтому без ограничения общности доказательства будем считать, что . Рассмотрим сначала случай x>0 и найдём предел .

Соединим точки A и B отрезком и восстановим из точки А перпендикуляр к прямой ОА до пересечения с прямой ОВ. Точку пересечения обозначим С.

Обозначим: - площадь треугольника АОВ, - площадь кругового сектора ОАВ, - площадь треугольника ОАС.

Имеем:

Из геометрических соображений , то есть ; после деления неравенства на sinx>0 получаем

Заменяя величины им обратными, имеем .

Далее: Но при выполняется

Следовательно

Используя теорему 7.11, получаем, что

Теперь найдём

Сделаем замену переменной y=-x. Если тогда но .

Получаем (при вычислении предела использована нечётность функции .

§ 9. Второй замечательный предел. Использование первого и второго замечательных пределов при вычислении пределов различных функций

Без доказательства отметим, что . Если сделать замену , то выражение принимает вид .

Мы привели два различных способа записи второго замечательного предела.

Рассмотрим несколько примеров применения первого и второго замечательного пределов в решении задач.

Пример1.

При следует .

Кроме того

Упражнения для самостоятельного решения.

Отметим, что первый замечательный предел используют «для раскрытия неопределенностей» вида , если выражение под знаком предела содержит тригонометрические функции, или обратные тригонометрические функции. Второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей вида . Причем, предварительно в основании степени выделяют выражение вида , где Затем в степени выделяют множитель вида .

Пример2.

Отметим, что, если . Полагая и используя второй замечательный предел в виде , получаем, что , т.е. окончательно мы должны получить число е в некоторой степени. Чтобы найти, в какую степень нужно возвести е, нужно вычислить предел

Ответ:

Упражнения. Вычислить самостоятельно пределы.

§ 10. Сравнение бесконечно малых величин

Пусть - функции одного аргумента x и

(то есть бесконечно малые при .

Примечание. Здесь a может быть и конечным числом,

Для сравнения «скоростей» стремления к нулю, рассмотрим отношение , предполагая, что в некоторой проколотой окрестности точки а.

Определение 1. Если , то будем говорить, что - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем и будем записывать при - «0» малое от при х стремящемся к а).

Пример.

Вычислим предел

так как пределы первого и третьего множителя при равны 1, а

Вывод: .

Определение 2. Если , где А – конечная константа, будем говорить, что - бесконечно малые одного порядка малости.

Записывать в этом случае будем (

Определение 3. Если , то будем говорить, что бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой (записывать будем

Пример. , тогда при

Докажем эквивалентность

Что и требовалось доказать.

Определение 4. Бесконечно малая величина называется бесконечно малой порядка k относительно , если существует конечный и отличный от нуля предел.

. Очевидно, что при этом .

Пример. Нетрудно проверить (убедитесь!), что имеет относительно бесконечно малой величины порядок малости два.