Следствия из свойства 1.
1.Произведение бесконечно малой величины на величину постоянную есть величина бесконечно малая.
2.Произведение двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (докажите!).
Свойство
2. Линейная
комбинация
конечного числа бесконечно малых величин
есть величина бесконечно малая.
Доказательство
проведем для двух слагаемых
.
(чтобы доказать это утверждение для
произвольного n
можно применить метод математической
индукции).
Доказательство.
Имеем 1(х),
2(х)–бесконечно
малые величины при ха,
то есть
и
;
с1,с2–константы.
Другими словами
10
х
0х-а11х
,
кроме того
20
х
0х-а22х
.
Обозначим =min{1,2}
Тогда при 0х-а выполняется 1(х) и 2(х) .
Далее
с11(х)+с22(х)с1
1(х)+с2
2(х)с1
Таким
образом, 0
0
0х-ас11(х)+с22(х)
,
а это и значит, что с11(х)+с22(х) –бесконечно малая величина при ха.
Замечание.
Отношение двух бесконечно малых величин
может быть:
1) величиной бесконечно малой (например, (х)=х2sinx, (x)=x2 при х0);
величиной бесконечно большой (например, (х)=х; (х)=sin2(x) при х0);
может иметь конечный предел (приведите пример);
может не иметь предела при ха (приведите пример).
Итак,
отношение двух бесконечно малых величин
представляет собой неопределенность.
§6. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
Теорема
6.1. Если
у=у(х)–бесконечно большая функция при
ха
(или х),
то (х)=
–бесконечно
малая функция при ха
(или х).
Теорема
6.2. Если
=(х)–бесконечно
малая функция при ха
(или х),
то у(х)=
–бесконечно
большая функция при ха
(или х).
Докажем теорему 6.1. Теорема 6.2. доказывается аналогично (докажите самостоятельно!).
Доказательство. Пусть у=у(х)–бесконечно большая функция при ха.
Тогда М0 1 х 0х-а1у(х)М.
Следовательно
при х
таких, что 0х-а1
функция у(х) отлична от нуля, т.е. в
проколотой окрестности точки а
(а-;а+)\а
отношение
имеет смысл.
Пусть
0
произвольное малое число. Для числа
М=
найдется 20
(без ограничения общности доказательства
будем считать, что 2<1)
такое, что у(х)>M=
.
Но
это значит, что в проколотой окрестности
выполняется неравенство
.
Так
как
-
произвольно, то мы получим, что
.
§7. Некоторые теоремы о функциях, имеющих конечные пределы
Теорема 7.1 Число А является пределом функции f(x) при х, стремящемся к а (или при ) тогда и только тогда, когда f(x)-A является бесконечно малой при (или ).
Доказательство.
1.Пусть
.
Это значит, что
.
Если
обозначить
получаем
Но это значит, что
2.Если f(x)-A-бесконечно малая величина при , то
.
Но
это равносильно тому, что
.
Сформулируем «теоремы о пределах» являющиеся следствиями соответствующих теорем о пределах последовательностей и определения предела функции (по Г.Гейне).
Теорема7.2
Если функция f(x)
имеет предел при
,
то он единственный.
Теорема
7.3 Если
то функция
Теорема
7.4 Если
функции f(x)
и g(x)
имеют при
конечные пределы
,
то существуют пределы
Из свойств бесконечно большой функции и функций, имеющих конечные пределы, можно доказать следующие полезные теоремы.
Теорема 7.5 Произведение бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный и отличный от нуля предел, есть величина бесконечно большая.
Теорема7.6 Сумма бесконечно большой и ограниченной величин есть бесконечно большая величина.
Примеры.
а)
(разделим
и числитель и знаменатель на х в наибольшей
степени (
),
которая участвует в многочленах,
находящихся в числителе и знаменателе
дроби)
Получаем:
числитель дроби стремится к числу 6 при
;
знаменатель есть величина бесконечно
малая
.
Из
теоремы 6.2 имеем
Применяя теорему 6.2, получаем
б)
Поясним,
как получен окончательный ответ:
.
Докажем ещё несколько полезных свойств функций, имеющих предел.
Теорема
7.7.
Если
,
то существует окрестность точки а,
в которой
совпадает
со знаком числа А.
Доказательство.
По условию
,
т. е.
Возьмем
в качестве
.
Тогда
являются числами одного знака.
Действительно, пусть A>0, тогда
Если А<0, то
.
Следовательно,
в силу неравенств
,
получаем, что
при
и f(x)
имеет тот же знак, что и число А.
Теорема
7.8. Если
f(x)>0
(f(x)<0)
для всех точек х из некоторой проколотой
окрестности точки а
и существует предел
,
то
Доказательство.
Предположим противное.
Пусть,
например, f(x)>0
при всех х таких, что
но
.
Но тогда f(x)<0 в некоторой проколотой окрестности точки а (из теоремы 17.7). Получаем противоречие, которое доказывает теорему.
Теорема
7.9. Пусть
в некоторой проколотой окрестности
точки а
и существуют конечные пределы
тогда
.
Доказательство.
Из
теоремы 7.6 существует предел
.
Пусть
A>B,
или A-B>0.
Тогда по теореме 7.7 в некоторой проколотой
окрестности точки а
выполняется неравенство
,
то есть
.
Получаем противоречие, доказывающее
справедливость теоремы.
Отметим,
что если выполняется строгое неравенство
f(x)<g(x)
и существуют конечные пределы
,
то по-прежнему можно утверждать только
.
Пример.
Пусть
(функция тождественно равна нулю для
всех значений аргумента x):
.
Тогда в проколотой окрестности точки
ноль выполняется строгое неравенство
Теорема 7.10 (о пределе сложной функции).
Если
существуют конечные пределы
,
то
существует предел
.
Доказательство.
По
предположению теоремы
,
т.е.
Но
.
Это значит, что
Положим
y=g(x)
и возьмём
.
Тогда
и для всех х, таких, что
будет выполняться неравенство
,
а это значит, что
.
Эта
теорема позволяет применять правило
замены переменной в операции перехода
к пределу, а именно: если нужно вычислить
предел
и известно, что
,
то имеем правило:
Пример.
Пусть
Тогда
,
где
.
Вычислим
предел
.
Отметим,
что
В
итоге имеем
.
Теорема
7.11. Если в
проколотой окрестности точки а
выполняется
,
причём существуют равные между собой
пределы
,
тогда существует предел
.
Доказательство.
По
условию теоремы имеем
Другими словами
.
Если
обозначить
,
то при
будет выполняться
Но , следовательно из 1* и 2* получаем, что
выполняется
неравенство
,
причем число
можно подобрать для любого значения
.
Следовательно
.
Замечание.
Утверждение, аналогичное теореме 7.11
справедливо и при
и в случаях
