- •Красноярск 2008
- •Введение в математический анализ
- •660014,Красноярск, просп. Им. Газ. «Красноярский рабочий», 31.
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы теории множеств
- •§1 Множества. Операции над множествами.
- •Некоторые логические символы
- •§ 2 Эквивалентность множеств
- •§3. Некоторые подмножества множества действительных чисел
- •§4 Точные грани множеств
- •Отметим, что если множество а содержит свой «наибольший» элемент, то супремум совпадает с этим максимальным элементом:
- •Пример.
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Глава 2. Отображения и функции
- •§1. Отображения и функции
- •§ 2. Способы задания функций
- •Глава 3. Последовательности
- •§1 Числовая последовательность. Предел последовательности
- •§2. Некоторые свойства сходящихся последовательностей
- •Из определения предела последовательности
- •Теорема 3
- •По предположению теоремы имеем
- •§3. Подпоследовательности
- •§ 4. Монотонные последовательности
- •Глава 4. Предел функции в точке
- •§ 1 Предел функции в точке.
- •§ 2. Односторонние пределы
- •§ 3. Бесконечно большие величины
- •§ 4. Ограниченные функции
- •§ 5. Бесконечно малые функции и их свойства
- •Бесконечно малые функции называют еще бесконечно малыми величинами.
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Следствия из свойства 1.
- •§6. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
- •§7. Некоторые теоремы о функциях, имеющих конечные пределы
- •§ 8. Первый замечательный предел
- •§ 9. Второй замечательный предел. Использование первого и второго замечательных пределов при вычислении пределов различных функций
- •§ 10. Сравнение бесконечно малых величин
- •Глава 5. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •§ 1. Теоремы об эквивалентности бесконечно малых величин
- •§2. Непрерывность функции в точке
- •§3. Свойства непрерывных функций, связанные с арифметическими операциями
- •§ 4. Непрерывность сложной и обратной функции
- •§ 5. Точки разрыва функции и их классификация
- •§ 6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Задания для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Приложения
- •Задания типового расчета «Пределы»
- •Варианты заданий типового расчета
- •Решение типовых задач
Вводный курс математического анализа.
(учебное пособие)
авторы:
к.ф.-м.н. Балашова О.Ю.
к.т.н. Ильина Т.Р.
к.т.н. Хоролич Г.Б.
Красноярск 2008
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161я7
Б 20
Рецензенты
Балашова, О.Ю.
Б 20 Введение в математический анализ: Учебное пособие / О.Ю. Балашова, Т.Р. Ильина, Г.Б. Хоролич; СибГАУ. Красноярск, 2008. 86 с.
ISBN 5 -86433-166-Х
Учебное пособие содержит основные понятия вводного курса математического анализа. Многие утверждения приводятся с доказательствами. Изложенный материал может быть использован для самостоятельной работы студентами первого курса факультета информатики и вычислительной техники, а также студентами других специальностей.
УДК 517.1 (075.8)
ББК 161я7
Учебное издание
Балашова Ольга Юрьевна
Ильина Татьяна Романовна
Хоролич Галина Борисовна
Введение в математический анализ
Учебное пособие
Редактор
Компьютерная верстка
Подписано в печать Формат 60х84/16. Бумага офисная.
Печать плоская. Усл. Печ. Л. 4,65. Уч.-изд. Л. 6,0. Тираж 100 экз.
Заказ С 14
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 24.49.04.953. П.000032.01.03. от 29.01.2003г.
Редакционно-издательский отдел СибГАУ.
Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ.
660014,Красноярск, просп. Им. Газ. «Красноярский рабочий», 31.
Сибирский государственный аэрокосмический
Университет имени академика М.Ф. Решетнева, 2008
Оглавление
Глава 1. Элементы теории множеств………………………………………………4
§1. Множества. Операции над множествами………………………………..4
§2 Эквивалентность множеств ………………………………………………6
§3 Некоторые подмножества множества
действительных чисел ……………………………………………………….8
§4 Точные грани множеств ……………………………………….9
Примеры для самостоятельного решения ………………………………...10
Глава 2. Отображение и функции ……………………………………………….11
§1 Отображения и функции ……………………………………………….11
§2 Способы задания функций ……………………………………………..12
Глава 3. Последовательности ……………………………………………………14
§1 Числовая последовательность. Предел
последовательности ………………………………………………………..14
§2 Некоторые свойства сходящихся последовательностей ……………..16
§3 Подпоследовательности ………………………………………………..18
§4 Монотонные последовательности ……………………………………..19
Глава 4. Предел функции в точке ……………………………………………….20
§1 Предел функции в точке ………………………………………………..20
§2 Односторонние пределы ………………………………………………..22
§3 Бесконечно большие величины ………………………………………..26
§4 Ограниченные функции ………………………………………………...27
§5 Бесконечно малые функции и их свойства ……………………………29
§6 Связь между бесконечно малыми
и бесконечно большими функциями ……………………………………..31
§7 Некоторые теоремы о функциях,
имеющих конечные пределы ……………………………………………..32
§8 Первый замечательный предел ………………………………………..36
§9 Второй замечательный предел. Использование
первого и второго замечательного предела
при вычислении пределов различных функций …………………………37
§10 Сравнение бесконечно малых величин ……………………………...39
Глава 5. Непрерывность функции в точке и на множестве …………………41
§1 Теоремы об эквивалентности бесконечно малых величин ………….41
§2 Непрерывность функции в точке ……………………………………...42
§3 Свойства непрерывных функций, связанные
с арифметическими операциями ………………………………………….44
§4 Непрывность сложной и обратной функции ………………………….45
§5 Точки разрыва функции и их классификация ………………………...46
§6 Свойства функции, непрерывных на отрезке …………………………48
§28 Решение типовых задач.
Задания для самостоятельного решения ………………………………50
Библиографический список ……………………………………………..52
Приложения ……………………………………………………………….53