МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра

РЕФЕРАТ

на тему «Системы счисления»

Выполнила студентка гр.

Иванова И.И.

Проверила

Сидорова А.А.

Барановичи 2013

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Система счисления: история числа, виды систем 4

2. Представление чисел в различных системах счисления 8

2.1. Непозиционные системы счисления. 8

2.2. Позиционные системы счисления. 9

3. Правила перевода из системы счисления в систему счисления. 11

3.1. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления. 11

3.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 11

3.3. Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления. Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную следующий: 12

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления 13

Вывод 15

Список литературы 16

Введение

«Все есть число», - говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае

число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами.

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Система счисления - это одна из тем информатики, восходящих к программированию ЭВМ первых поколений в машинных кодах. В настоящее время данная тема сохраняет свое значение как весьма типичный случай кодирования информации, а также в связи с широким использованием шестнадцатеричных обозначений в машинно-ориентированных разделах программирования. Знание систем счисления полезно для понимания представления данных в памяти ЭВМ и операций над ними.

Системы счисления (особенно по основанию 10) достаточно подробно изучаются в математике, а остальные в информатике. Данный реферат может быть полезен тем, кто интересуется информатикой. Целесообразно сначала познакомиться с историей и значением систем счисления. Полезным является и знакомство с различными приемами перевода чисел в системы счисления по основанию 2, 8, 10 и 16, в том числе с помощью калькулятора.

1. Система счисления: история числа, виды систем

Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше.

Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два».

А все числа, больше двух, получали название в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три- это «два», «один», четыре- «два, два», пять- «два, два, один».

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.

Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам. Каждый уносил свою половину и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов». Ведь при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирует единицу.

Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, сколько полосок нашито на его рукаве. Того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики и именно она до сих пор вводит школьников в мир счета.

Единична система - не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более экономичные системы счисления.

История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Вот один из вариантов истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.

В вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).

М

Рис. 1

ежду II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления (рисунок 1).

Рис. 1

Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.

В

Рис. 2

XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

Ф орма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI веке (рисунок 2). Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате (рисунок 3).

 

Рис. 3

Рис. 2 Рис.3

Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет семейный бюджет и т.д. Числа, цифры с нами везде.

Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые называются цифрами.

Цифры - это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит.

Что же такое число? Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от предметов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения (эталон) не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Далее понятие числа развивалось в математике и сегодня считается фундаментальным понятием не только математике, но и информатике.

Число - это некоторая величина. Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня их называем системами счисления.

У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.

Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000? Неудобно?

И люди начали изобретать системы счисления.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Последние являются в свою очередь результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет. Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна десяти, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять.

Есть системы счисления и с другим основанием. Это такие системы счисления как пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная.

Если за основание принять другое число, то получим другую систему счисления: восьмеричную, если за основание принять число 8; троичную, если за основание принять число 3, и т.д. Наибольшее применение в вычислительной математике имеет двоичная система счисления. В ней всего две цифры: 0 и 1. Числа, записанные в двоичной системе счисления, удобно вводить в вычислительную электронную машину и производить над ними действия для решения различных довольно сложных задач.