4.Операции над множествами.

Определение 1.Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В, или высказывание( Р_А(х) Р_В(х) ) является истинным. Пишут: .

Свойства отношения сложения.

1. Рефлексивность: ;

2. Транзитивность: , ;

3. Антисимметричность: , А=В;

4. Любое множество вложено в универсальное множество: ;

5. Любое множество вложено в пустое множество: ;

Определение 2.Множества А и В называются равными, если и (взаимная вложенность)

Определение 3.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Пересечение обозначается символом : = или =

Если представить множества А и В в виде кругов Эйлера-Венна, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью.(Рис.1).Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто : .

Свойства операции пересечения.

1. Коммутативность: ;

2. Ассоциативность: ;

3. Идемпотентность: ;

4. Пересечение с пустым множеством: ;

5. Пересечение с универсальным множеством: ;

6. ;

Определение4.Объединением множества А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В .Объединение обозначается символом : = или .

Если представить множества А и В в виде диаграмм Эйлера-Венна, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью . (Рис.2).

операции объединения.

1.Коммутативность: ;

2.Ассоциативность: ;

3.Идемпотентность: ;

4.Объединение с пустым множеством: ;

5.Объединение с универсальным множеством: ;

6. ;

7.Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

;

.Дистрибутивность пересечения относительно объединения: ;

Определение 5.Разностью множества А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов , которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств обозначают: : = , .

Если представить множества А и В в виде кругов Эйлера-Венна, то разность изобразится заштрихованной областью (Рис.3). Свойства операции разности.

1. Антикоммутативность: ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Определение 6.Симметрической разностью множества А и В называется множество .

Определение 7.Если множество В является подмножеством множества А, то разность называется дополнением множества В до множества А и обозначается: . (На рис.3 показано штриховкой).

Свойства операции дополнения.

1. A;

2. ;

3. ;

4. Двойное дополнение: ;

5. Дополнение универсального множества: ;

6. Дополнение пустого множества: ;

7. ;

8. ;

Определение 8. Пары и называются равными = , если равны их соответствующие компоненты ; . Поэтому, если , то .

Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В называется множество упорядоченных пар, у которых первая компонента принадлежит множеству А, а вторая – множеству В: .

Если множества А и В совпадают, то множества называют декартовым квадратом этого множества.

Полагают, что для любого множества А.

Элементы декартова произведения двух конечных множеств, удобно располагать в виде таблицы, где по вертикали располагают элементы множества А , а по горизонтали – элементы множества В, а элементы множества пишут на пересечении соответствующих строк и столбцов. Так на таблице, приведенной ниже, изображены элементы декартова произведения множеств и .

		В
		2	3
А	а	(а,2)	(а,3)
	в	(в,2)	(в,3)
	с	(с,2)	(с,3)

Декартово произведение двух числовых множеств можно изображать точками на координатной плоскости, где по одной оси откладывают элементы множества А, а по другой элементы множества В.