Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твердого тела

Боровская теория водородоподобного атома. Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

, или ,

где m— масса электрона; — скорость электрона на n-й орбите; — радиус n-й стационарной орбиты; — постоянная Планка; n — глав­ное квантовое число (n=1,2,3,…).

Радиус n-й стационарной орбиты

,

где — первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода

,

где — энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

,

или

,

где и — квантовые числа, соответствующие энерге­тическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

,

где λ — длина волны излучения или поглощения атомом; R— постоян­ная Ридберга.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля

,

где ρ — импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энер­гией Т:

а) ; ;

б) ; ,

где — масса покоя частицы; m — релятивистская мас­са; υ - ско­рость частицы; с — скорость света в вакууме; — энергия покоя частицы .

Соотношение неопределенностей:

а) (для координаты и импульса),

где — неопределенность проекции импульса на ось Х; — неопределенность координаты;

б) (для энергии и времени),

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где - волновая функция, описывающая состояние частицы; -масса частицы; E-полная энергия; - потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где — вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой на участке .

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

.

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) (собственная нормированная вол­новая функция);

б) (собственное значение энергии);

где n — квантовое число (n=1, 2, 3, ...); — ширина ящика. В области x  0 и x  l, и .

Примеры решения задач

Пример 1. Определить частоту света, излучаемого возбужден­ным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетиче­ский уровень, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.

Решение. Согласно обобщенной формуле Бальмера, частота света, излучаемого атомом водорода,

, (1)

где — постоянная Ридберга; m определяет серию (по условию задачи, m=2-серия Бальмера), т.е. номер орбиты, на кото­рую переходит электрон; n определяет отдельную линию серии, т.е. номер орбиты, с которой переходит электрон.

Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности радиусом под действием кулоновской силы,

. (2)

Согласно теории Бора, момент импульса электрона, движущегося по n-й орбите,

. (3)

Решая уравнения (2) и (3), получим

. (4)

Из выражения (4) и условия задачи следует, что

. (5)

Умножив и разделив правую часть уравнения (1) на и учитывая (5), получим искомую частоту

.

Вычисляя, получаем .

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренеб­речь, прошел ускоряющую разность потен­циалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) В; 2) кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса ρ и определяется формулой

, (1)

где h— постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для не­релятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинети­че­ская энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (2)

где — масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3)

где — энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запи­шется:

в нерелятивистском случае

, (4)

в релятивистском случае

.

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов и , с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, про­шедшего уско­ряющую разность потенциалов U,

.

В первом случае эВ= МэВ, что много меньше энергии покоя электрона МэВ. Следова­тельно, в этом случае можно приме­нить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что . Подставив это выражение в форму­лу (4), перепишем ее в виде

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны , полу­чаем

.

Так как = 2,43 пм , то

пм =171пм.

Во втором случае кинетическая энергия

кэВ = 0,51 МэВ,

т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что МэВ= = , по формуле (5) находим

,

или

.

Подставим значение и произведем вычисления:

пм =1,40 пм.

Пример 3. Электронный пучок ускоряется в электроннолуче­вой трубке разностью потенциалов кВ. Прини­мая, что неопре­деленность импульса равна 0,1% от его числового значения, опреде­лить неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях электроны квантовой или классической частицей?

Ρ е ш е н и е. Согласно соотношению неопределенностей,

, (1)

где — неопределенность координаты электрона; — неопреде­ленность его импульса; Дж -постоянная Планка.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов кэВ, т. е. электрон при данных усло­виях является нерелятивистской частицей (см. пример 3), и импульс электрона

кг м/с.

Согласно условию задачи, неопределенность импульса кг м/с, т.е. , и электрон при данных условиях является классической частицей. Из выражения (1) следует, что искомая неопределенность координаты электрона

.

Вычисляя, получаем нм.

Пример 4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубо­ком прямоугольном ящике шириной . Вычислить вероят­ность нахождения частицы в малом интервале в двух случаях: 1 (вблизи стенки) ; 2) в сред­ней части ящика

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

.

В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01 (рис. 4):

.

Знак модуля опущен, так как ψ — функция в данном случае не явля­ется комплексной.

Так как изменяется в интервале и, следовательно, , справедливо приближенное равенство

.

С учетом этого выражения (1) примет вид

.

После интегрирования получим

.

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квад­рат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале практически не изменяется. Искомая вероят­ность во втором случае определяется выражением

,

или

.

Пример 5. Нормированная волновая функция, описывающая 1s-со­стояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где — расстояние электрона от ядра;

а - первый боровский радиус. Определить вероятность W обнаружения электрона в атоме внутри сферы радиусом

Решение. функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, сферически-симметрична (зави­сит только от ). По­этому элемент объема, отвечающий одинаковой плотности вероятно­сти, выбирают в виде объема сферического слоя радиусам и толщи­ной : .

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема

.

Вероятность W найдем, интегрируя dW в пределах от до :

. (1)

По условию задачи, мало ( ; пм), поэтому сомножитель можно разложить в ряд

(2)

Подставив (2) в (1) и пренебрегая в (2) членами второго порядка, по­лучим

.

Таким образом, .