Тема 3.2

Вправа 3. Навести приклад орграфа, який відповідає відношенню часткового порядку на лінійно впорядкованій множині.

Розвязання:

Вправа 6. Скільки розрізувальних множин має повний двочастковий граф з n вершинами?

Розвязання:

Розрізаючою множиною S зв'язного графа G назвемо таку підмножину ребер графа G, що вилучення їх із графа G розділяє останній, тобто граф G-S стає незв'язним..Отже, повний двочастковий граф з n вершинами має n/2 розрізувальних множин.

Вправа 9. Вказати для кожної із наступних підмножин ребер графу, заданого в п. З вправи 5, чи є вона розрізом, чи розрізу­вальною множиною:

1) { e₁ , e₁₀ }; 2) { e₂ , e₆ , e₁₂ , e₁₄ };

3) { e₁ , e₈ , e₁₄ , e₁₅ }; 4) { e₂ , e₃ , e₁₂ };

5) { e₃ , e₁₀ }; 6) { e₂ , e₃ , e₄ , e₅ };

7) { e₃ , e₆ }; 8) { e₂ , e₄ , e₅ , e₁₂ };

9) { e₂ , e₃ , e₆ , e₁₂ , e₁₄ }.

Розвязання:

S зв’язного графа G є така мінімальна множина ребер графа G, що вилучення S розбиває граф G точно на два компоненти, тобто (G) -  (G-S) = 1.

Розрізаючою множиною S зв'язного графа G назвемо таку підмножину ребер графа G, що вилучення їх із графа G розділяє останній, тобто граф G-S стає незв'язним.

Розглянемо 3 випадок.

1) { e₁ , e₁₀ } – розріз;

2) { e₂ , e₆ , e₁₂ , e₁₄ } – роз. множина;

3) { e₁ , e₈ , e₁₄ , e₁₅ }– роз. множина;

4) { e₂ , e₃ , e₁₂ }– розріз;

5) { e₃ , e₁₀ }– роз. множина;

6) { e₂ , e₃ , e₄ , e₅ }– розріз;

7) { e₃ , e₆ }– роз. множина;

8) { e₂ , e₄ , e₅ , e₁₂ }– розріз;

9) { e₂ , e₃ , e₆ , e₁₂ , e₁₄ }– роз. множина і розріз;

Вправа 12. Задати граф, ребра якого інцидентні будь-якій вершині, утворюють розрізувальну множину.

Розвязання:

Вправа 15. Навести графи, двоїсті графам вправи 5.

Розвязання:

Двоїстий граф G '  планарному графу G - Це граф, в якому вершини відповідають граням графа G ; Ці вершини з'єднані ребром, тільки якщо відповідні їм межі графа G мають спільне ребро. Наприклад, двоїсті один до одного графи куба і октаедра.

Двоїстий граф є псевдографом: в ньому можуть бути петлі і кратні ребра.

Вправа 18. Встановити хроматичне число цикла з п вершинами.

Розвязання:

Мінімальна кількість фарб, необхідна задля правильного розфарбування графа , називається хроматичним числом графа G, тобто дві суміжні вершини повинні мати різний колір. Для визначення хроматичного числа потрібно скористатись правилом: хроматичне число графа дорівнює найбільшому числу з хроматичних чисел його зв’язних компонентів. Тобто маємо, що якщо в циклі з компонентами зв’язності, що потрібно розфарбовувати двома кольорами, то і весь граф задовольниться даним числом кольорів, але це тільки для парних циклів, тобто тих, що мають парну кількість елементів, а цикли з непарним N повинні задовольнятись числом кольорів N+1.Маємо : хроматичне число циклу з N вершинами дорівнює 2. якщо N – парне, в іншому випадку, коли непарне, то 2+1=3, а отже кількість кольорів=3.

Вправа 21. Описати алгоритм побудови двоїстого графа за матрицею суміжності графа.

Розвязання:

Матриця двоїстого графа буде транспонованою матрицею основного графа. Якщо матриця суміжності симетрична, то граф неорієнтований, якщо граф буде простим, то матриця буде бінарною матрицею.

Вправа 24. Встановити планарність та розфарбувати графи вправи 1 теми 3.1.

Розвязання:

Візьмемо варіант номер 1.

У цьому випадку потрібно, щоб було три кольора, щоб суміжні вершини були різних кольорів.