1. Введение

Современные приборы и устройства сервиса представляют собой сложные технические системы, реализованные на базе средств вычислительной техники. Цифровые устройства и микропроцессоры являются важнейшей составной частью различных объектов бытовой техники: радиоэлектронной аппаратуры, стиральных и посудомоечных машин, холодильников и климат-систем, изделий оргтехники и других устройств.

Такой широкий диапазон применения цифровых устройств определяется их высокими техническими параметрами и технико-экономическими показателями. В частности - это низкое энергопотребление, высокое быстродействие, высокая надежность и помехозащищенность, возможность реализации алгоритмов управления и обработки сигналов любой сложности, малые габариты, технологичность и низкая стоимость.

Управляющие автоматы реализуются в виде "гибкий" или программируемой логики, на основе микропроцессоров, а также в виде "жесткой логики" - на основе последовательных цифровых устройств. Математическими моделями, используемыми при анализе и синтезе последовательных устройств, являются конечные автоматы, имеющие конечное количество элементов памяти. В последнее время интерес к конечным автоматам возрос, что связано с развитием интегральной программируемой электроники: программируемых логических структур; программируемых логических матриц; программируемой матричной логики; базовых матричных кристаллов и др. В основе синтеза таких устройств лежат методы абстрактного (логического) и структурного синтеза конечных автоматов. Это обстоятельство делает необходимым приобретения знаний и навыков применения этих методов для анализа и синтеза цифровых устройств управления объектами и устройствами сервиса.

2. Основные понятия теории автоматов.

Термин автомат (от греческого , - самодействующий) как пра­вило, используется в двух аспектах. С одной стороны, автомат — устройство, выполняющее некоторые функции без непосредственного участия человека. В этом смысле мы говорим, что ЭВМ — автомат, так как после загрузки про­граммы и исходных данных ЭВМ решает заданную задачу без участия челове­ка. С другой стороны, термин «автомат» как математическое понятие обознача­ет математическую модель реальных технических автоматов.

Цифровые устройства с точки зрения теории дискретных устройств пред­ставляется дискретными автоматами. Рассмотрим основные понятия, относя­щиеся к дискретным автоматам — математическим моделям цифровых уст­ройств.

Автоматом конечным (дискретным) называется математическая модель устройства, обладающего конечным числом устойчивых состояний и осущест­вляющего преобразование дискретной информации

Так как дискретная информация может быть представлена в той или иной системе счисления (представлена цифрами), то часто дискретные автоматы на­зывают цифровыми автоматами.

С точки зрения взаимодействия с внеш­ней средой дискретный автомат можно представить в виде "черного ящика", кото­рый обменивается информацией с внешней средой через входные и выходные каналы.

Реальные устройства работают по так­там. На каждом из тактов по окончанию переходного процесса устанавливает­ся определенное внутреннее состояние автомата и соответствующие этому со­стоянию выходные сигналы.

В теории автоматов вводят допущения, которые упрощает рассмотрение процессов, происходящих в реальных устройствах:

• входные сигналы не имеют длительности;

• выходные сигналы изменяются мгновенно;

• переход в новое внутреннее состояние происходит скачкообразное, переходные процессы не учитываются

• с мгновенным изменением состояния автомата связано и мгновенное изменение выходного сигнала.

Эти допущения означают, что все изменения в дискретных автоматах про­исходят в дискретные моменты времени – t = 0, 1, 2, …, i, нумерующие гра­ницы между тактами. При этом говорят, что функционирование автомата связано с последовательным изменением его состояний в дискретные интервалы времени конечной длительности, называемыми интервалами дискретности.

Понятие состояния автомата используется для описания систем, выходы которых зависят не только от входных сигналов в данный момент времени, но и от некоторой предыстории, т. е. сигналов, которые поступили на входы сис­темы ранее. Состояние автомата соответствует некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходные сигна­лы как функцию состояний и входных сигналов.

Входная и выходная информация в теории автоматов представляется сигна­лами, имеющими несколько уровней. Каждому уровню сопоставляется некото­рый символ, который в зависимости от смысла перерабатываемой информации, может интерпретироваться как цифра, буква, признак. Промежуточные значе­ния реальных сигналов заменяются одним из ближайших уровней. Такая ин­формация является дискретной.

При описании цифровых автоматов внешние воздействия, выходная реак­ция и состояния рассматриваются как буквы трех алфавитов, называемых соот­ветственно входным алфавитом X = {x₁,x₂,…,x_n}, выходным алфавитом Y = {y₁,y₂,…,y_k} и алфавитом состояния Q = {q₁,q₂,…,q_s}.

Примером входного и выходного алфавитов является бинарный (двоичный) алфавит, содержащий только две буквы – Q = {0,1}, Y = {0,1}, X = {0,1}. Различ­ные комбинации букв алфавитов можно интерпретировать как входные (вы­ходные) слова или дискретные сигналы и, соответственно, слова состояния. За­кон функционирования автомата может быть задан двумя функциями – функ­цией переходов : QXQ, связывающей пару "входной сигнал – состоя­ние" и отображающей множество QX в Q, а также функцией выходов λ: QXY, связывающей пару "выходная буква – состояние" и отображаю­щей множество QX в Y, соответственно.

Таким образом, характерной особенностью математического описания ко­нечного автомата является дискретность математических моделей, а также конечность областей значений входных, выходных сигналов и состояний.

Общая теория автоматов при сделанных выше допущениях разбивается на две большие части – абстрактную теорию автоматов и структурную теорию автоматов. Различие между ними заключается в том, что в абстрактной теории мы отвлекаемся от структуры, как самого автомата, так и его входных и выход­ных сигналов. Не интересуясь способом построения автомата, абстрактная тео­рия изучает лишь те переходы, которые претерпевает автомат под воздействи­ем входных сигналов, и те выходные сигналы, которые он при этом выдает. Абстрактная теория автоматов близка теории алгоритмов, является ее даль­нейшей детализацией.

В общем случае математической моделью цифрового устройства является дискретный автомат, заданный совокупностью шести объектов:

1) конечное множество X входных сигналов:

X = {x₁(t),x₂(t),…,x_n(t)};

2) конечное множество Y выходные сигналов:

Y = {y₁(t),y₂(t),…,y_k(t)};

3) множество Q состояний автомата:

Q = {q₁(t),q₂(t),…,q_s(t)};

4) начальное состояние автомата q₀, как элемент множества Q:

q₀(t) Q;

5) функция (q,x) (функция перехода автомата из одного состояния в другое);

6) функция λ(q,x) (функция выходов автомата).

В начальный момент времени t₀ автомат находится в начальном состоянии q₀. В дискретные моменты времени t на автомат поступают входные сигналы x(t), автомат последовательно меняет внутренние состояния и генерирует соот­ветствующие выходные сигналы y(t).