Непрерывность функции

Определение 1. Функция непрерывна в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .

Применяя второе определение предела функции в точке, получим

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции ( ), а – приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .

Доказательство следует из первого определения непрерывной функции

Здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если

.

Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.

Все степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции непрерывны в областях существования.

Свойства непрерывных функций

1. Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если и , то

.

2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.

Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.

4). Пусть функция непрерывна в точке , пусть функция непрерывна в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

Очевидно, что

.

Так как согласно определению 3 непрерывности при и при , получим: при .

Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция непрерывна на , а функция непрерывна на множестве неотрицательных чисел.

Точки разрыва функции

Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.

Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.

Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.

Пример. Функция . Очевидно, ,

.

Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.

Пример. . Имеем , .

Разрыв называется устранимым, если и эти пределы конечны, но функция в точке не задана.

Пример. Функция не может быть задана при (деление на ноль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.

Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.