8.2. Пример моделирования конкуренции по объемам продаж

Исходные условия:

- модель дуополии, когда на рынке взаимодействуют две фирмы;

- фирмы предлагают однородный продукт;

- фирмам известна функция рыночного спроса вида

р =а-bQ,

где a, b – положительные константы,

Q – рыночный спрос, который складывается из объёмов предложения первой и второй фирм (Q = q₁+q₂) при цене Р.

- издержки производства фирм равны;

- фирмы максимизируют прибыль.

- Первой стратегический ход делает наиболее сильная фирма – «лидер», а второй – фирма – «последователь».

Прибыли дуополистов определяются как разница между выручкой и издержками каждого из них

Пi =TRi – Tci, (10)

Где Тсi – издержки производства,

ТRi – выручка фирмы;

П_i – прибыль фирмы.

Кривую рыночного спроса в линейной форме можно преобразовать

(12)

В этом случае функция прибыли каждого дуополиста будет определяться как разность между выручкой получаемой им при сложившейся рыночной цене и затратами на производство реализуемой на рынке продукции.

(13)

Подставив в формулу 12 формулу 13 мы получим функцию прибыли для каждого дуополиста (14):

(14)

Отсюда становится возможным определять изменение прибыли дуополиста под влиянием его стратегических действий и при неизменном поведении конкурента.

Для того чтобы найти максимум прибыли дуополиста на рынке необходимо полученную формулу прировнять к нулю и продифференцировать по объёму продаж (15):

(15)

Для определения стратегического эффекта необходимо определить коэффициент вариации. При этом следует учитывать, что последователь рассматривает уровень выпуска лидера как не предсказуемый, то есть последователь принимает решение без учёта стратегического эффекта. Он максимизирует прибыль, используя кривую реакции, полученную исходя из своей функции максимума прибыли и при неизменном поведении лидера.

Для последователя кривая реакции выглядит следующим образом (16):

. (16)

Однако в отличие от последователя лидер осознаёт, что оказывает влияние на принятие его решений и поэтому учитывает реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли. Поскольку кривая реакции последователя известна, становится возможным определить коэффициент вариации (17):

(17)

При увеличении объёма продаж лидера на единицу, объём продаж последователя сократится на пол-единицы. Для определения стратегического эффекта требуется умножить коэффициент вариации на производную функции прибыли фирмы лидера, взятую по объёму продаж фирмы–последователя:

(18)

После добавления стратегического эффекта в функцию максимума прибыли лидера она примет следующий вид (19):

(19)

Это уравнение задаёт кривую реакции фирмы–лидера, которая в результате преобразований примет вид (20):

(20)

Исходя из системы полученных уравнений кривых реакций, можно определить равновесные уровни выпуска дуополистов по Штакельбергу (21):

. (21)

Для подтверждения того, что фирмы получат максимум прибыли при этих объёмах продаж необходимо дважды продифференцировать функцию прибыли по объёму производства фирмы (22).

, . (22)

Поскольку частные производные функции прибыли второго порядка отрицательны, можно сделать вывод о том, что равновесные объёмы выпуска обеспечивают максимум прибыли, как для дуополиста–лидера, так и для дуополиста –последователя.

При этом лидер получит прибыль в размере:

(23)

а последователь получит прибыль в два раза меньше:

(24)