Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
Як було сказано вище, матричний метод і метод Крамера застосовні тільки до тих системам лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.
Визначення. Система m рівнянь із n невідомими в загальному виді записується в такий спосіб:
,
де aij – коефіцієнти, а bi – сталі. Розв’язками системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.
Визначення. Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною. Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.
Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок й невизначеною, якщо більше одного.
Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця
А =
називається матрицею системи, а матриця
А*=
називається розширеною матрицею системи
Визначення. Якщо b1, b2, …, bm = 0, те система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульовий розв’язок.
Елементарні перетворення систем.
До елементарних перетворень належать:
1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на однакове число, не рівне нулю.
2) Перестановка рівнянь місцями.
3) Видалення із системи рівнянь, що є тотожностями для всіх х.
Теорема Кронекера-Капеллі.
(умова сумісності системи)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)
Теорема: Система сумісна (має хоча б один розв’язок) тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.
Rank А= Rank А*.
Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:
x1
+ x2
+
… + xn
Доведення.
1) Якщо розв’язок існує, то стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід АА* не змінює рангу.
2) Якщо Rank А= Rank А*, те це означає, що вони мають той самий базовий мінор. Стовпець вільних членів – лінійна комбінація стовпців базового мінору, тоді вірний запис, наведений вище.
Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь:
A =
~
. 
Rank
A = 2.
A* =
Rank
A* = 3.
Система несумісна.
Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь.
А
=
;
= 2 + 12 = 14 0; Rank А=
2;
A* =
Rank A* = 2.
Система сумісна. Розв’язок: x1 = 1; x2 =1/2.
Метод Гауса.
(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик)
На відміну від матричного методу і метода Крамера, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь із довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих.
Розглянемо систему лінійних рівнянь:
Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11 0, потім:
1) помножимо на а21 і віднімемо із другого рівняння
2) помножимо на а31 і віднімемо із третього рівняння
і т.д.
Одержимо:
,
де d1j = a1j/a11,
j = 2, 3, …, n+1...
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1...
Далі повторюємо цієї ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього й т.д.
Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса.
Складемо розширену матрицю системи.
А* =
Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:
,
звідки одержуємо: x3 = 2; x2
= 5; x1 = 1.
Приклад. Вирішити систему методом Гауса.
Складемо розширену матрицю системи.
Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:
,
звідки одержуємо: z = 3; y = 2; x
= 1.
Отримана відповідь збігається з відповіддю, отриманою для даної системи методом Крамера й матричним методом.
Для самостійного розв’язання:
Відповідь:
{1, 2, 3, 4}.