Мінори.

Вище було використане поняття додаткового мінора матриці. Дамо визначення мінора матриці.

Визначення. Якщо в матриці А видалити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то матриця, складена з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.

Відмітимо, що вищесказане застосовне не тільки до квадратних матриць, але й до прямокутних.

Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки й стовпці, то отримана матриця буде додатковим мінором.

Алгебраїчні доповнення.

Визначення. Алгебраїчним доповненням мінора матриці називається визначник його додаткового мінора, помножений на (–1) у степені, рівному сумі номера рядка і номера стовпця мінора матриці.

В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця й рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.

Теорема Лапласа. Якщо обрано s рядків матриці з номерами i₁, … ,i_s, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів, розташованих в обраних рядках на їхні алгебраїчні доповнення.

Обернена матриця.

Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Визначення. Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненою до матриці А и позначається А^–1.

Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну.

Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати:

AX = E  , i=( 1, n ), j=( 1, n ),

e_ij = 0, i  j,

e_ij = 1, i = j .

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

,

Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

Таким чином, А^–1= .

Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:

,

де A_ji – алгебраїчне доповнення елемента а_ji матриці А.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А^–1.

det A = 4 – 6 = – 2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= – 2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= – 1/2

Таким чином, А^–1= .

Властивості обернених матриць.

Вкажемо наступні властивості обернених матриць:

1) (A^–1)^–1 = A;

2) (AB)^–1 = B^–1A^–1

3) (A^T)^–1 = (A^–1)^T.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

Відзначимо, що матриці і є комутуючими.

Приклад. Обчислити визначник .

= – 1

= – 1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = – 2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(–4) – 3(–6) = –8 + 18 = 10.

Значення визначника: – 10 + 6 – 40 = – 44.

Базовий мінор матриці. Ранг матриці.

Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається матриця, утворена з елементів вихідної матриці, що перебувають на перетині яких-небудь обраних s рядків і s стовпців.

Визначення. У матриці порядку mn мінор порядку r називається базовим, якщо його визначник не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n.

Стовпці й рядки матриці, на яких стоїть базовий мінор, також називаються базовими.

У матриці може бути кілька різних базових мінорів, що мають однаковий порядок.

Визначення. Порядок базового мінору матриці називається рангом матриці й позначається Rank А.

Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.

Треба відзначити, що рівні матриці й еквівалентні матриці – поняття зовсім різні.

Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців у матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.

Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.

Приклад. Визначити ранг матриці.

  , Rank A = 2.

Приклад: Визначити ранг матриці.

   , Rank A = 2.

Приклад. Визначити ранг матриці.

 ,  Rank A = 2.

Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдається знайти матрицю, еквівалентну вихідній, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці варто починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У вищенаведеному прикладі – це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору.