Відносини й функції.

Визначення. Упорядкованою парою (a, b) двох елементів a і b називається множина {{a},{a, b}}.

Для будь-яких елементів a, b, c, d справедливе співвідношення:

Визначення. Декартовим добутком множин А и В називається множина всіх упорядкованих пар (a, b), де аА, bB.

Декартовий добуток п рівних множин А буде називатися п-им декартовим степенем множини А і позначається Аⁿ.

Визначення. n-мірним відношенням R на непорожній множині А називається підмножина Аⁿ. Якщо R – n-мірне відношення на множині А і (а₁,а₂,…а_n)R, то кажуть, що відношення R виконується для елементів а₁,а₂,…а_n, і записують R а₁а₂…а_n. Якщо n = 2, то таке відношення називається бінарним.

Для бінарного відношення замість загального запису Ra₁a₂ застосовують запис а₁Ra₂.

Властивості бінарних відносин.

Визначення. Добутком двох бінарних відносин R і S, заданих на множині А, називається множина

Знак  називається штрих Шеффера й позначає антикон’юнкцію.

Визначення. Оберненим (інверсним) відношенням до відношення R, заданого на множині А, називається відношення R^–1, обумовлене рівністю:

Якщо R, S і T – бінарні відносини на множині А, то виконуються наступні рівності:

Алгебраїчні структури.

Визначення. На множині А визначена алгебраїчна операція, якщо кожним двом елементам цієї множини, узятим у певному порядку, однозначним образом поставлений у відповідність деякий третій елемент із цієї ж множини.

Прикладами алгебраїчних операцій можуть слугувати такі операції як додавання й віднімання цілих чисел, додавання й віднімання векторів, матриць, множення квадратних матриць, векторне множення векторів та ін.

Відзначимо, що скалярний добуток векторів не може вважатися алгебраїчною операцією, тому що результатом скалярного добутку буде число, а числа не належать до множини векторів, до якого належать співмножники.

Визначення. Множина А з заданою на ній алгебраїчною операцією (наприклад, множенням) називається групою, якщо виконані такі умови:

1) для будь-яких трьох елементів a, b, c  A виконується властивість асоціативності:

2) у множині А існує такий елемент е, що для будь-якого елемента а із цієї множини виконується рівність:

3) для будь-якого елемента а множини існує елемент а' з цієї ж множини, такий, що

Різні множини можуть бути групою щодо якоїсь операції й не бути групою щодо іншої операції.

Число елементів називається порядком групи.

Визначення. Між елементами множин M і N встановлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини М поставлено у відповідність певний елемент множини N, причому різним елементам однієї множини відповідають різні елементи іншої множини.

Визначення. Дві групи M і N називаються ізоморфними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій для будь-якого двох елементів a, b M і відповідних їм елементів a’, b’ N елементу

с = ab буде відповідає елемент c’ = a’b’.

При цьому відображення групи М на групу N називається гомоморфізмом.

Визначення. Якщо операція, визначена в групі комутативна, (тобто для будь-яких елементів a і b групи вірне співвідношення ab=ba), то така група називається комутативною або абелевою групою.

Визначення. Множина R з двома заданими в ній алгебраїчними операціями, додаванням і множенням, називається кільцем, якщо щодо операції додавання вона є абелевою групою, а операція множення дистрибутивна, тобто для будь-яких елементів a, b і с  R справедливі рівності:

Якщо операція множення, задана в кільці комутативна, то таке кільце називається комутативним кільцем.

Визначення. Полем називається комутативне кільце, у якому для будь-якого ненульового елемента a 0 і будь-якого елемента b існує єдиний елемент х такий, що ax = b.