Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.

Визначення. Множиною М називається об'єднання в єдине ціле певних розрізнюваних об'єктів а, які називаються елементами множини.

а  М

Множину можна описати, указавши якусь властивість, властиву всім елементам цієї множини.

Множина, що не містить елементів, називається порожньою і позначається .

Визначення. Якщо всі елементи множини А є також елементами множини В, то кажуть, що множина А включається (міститься) у множині В.

А

В

Визначення. Якщо А  В, то множина А називається підмножиною множини В, а якщо при цьому А  В, то множина А називається власною підмножиною множини В и позначається А  В.

Для трьох множин А, В, С справедливі наступні співвідношення.

Зв'язок між включенням і рівністю множин встановлюється наступним співвідношенням:

Тут знак  позначає кон’юнкцію (логічне “і”).

Операції над множинами.

Визначення. Об'єднанням множин А и В називається множина С, елементи якого належать хоча б одному із множин А и В.

Позначається .

А

В

Геометричне зображення множин у вигляді області на площині називається діаграмою Ейлера-Вейна.

Визначення. Перетином множин А и В називається множина С, елементи якої належать кожній з множин А и В.

Позначення .

А С В

Для множин А, В и С справедливі наступні властивості:

А  А = А  А = А; A  B = B  A; A  B = B  A;

(A  B)  C = A  (B  C); (A  B)  C = A  (B  C);

A  (B  C) = (A  B)  (A  C); A  (B  C) = (A  B)  (A  C);

A  (A  B) = A; A  (A  B) = A;

 = А; A   = ;

Визначення. Різницею множин А и В називається множина, що складається з елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається С = А \ В.

А В

Визначення. Симетричною різницею множин А и В називається множина С, елементи якого належать у точності одному із множин А або В.

Позначається А  В.

А  В = (A \ B)  (B \ A)

A B

Визначення. С_Е називається доповненням множини А щодо множини Е, якщо А  Е і C_Е = Е \ A.

A E

Для множин А, В и С справедливі наступні співвідношення:

A \ B  A; A \ A = ; A \ (A \ B) = A  B;

A  B = B  A; A  B = (A  B) \ (A  B);

A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C); A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C);

(A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C); (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B)  (A  C); (A \ B) \ C = A \ (B  C);

(A  B)  C = A  (B  C); A  (B  C) = (A  B)  (A  C);

A  C_EA = E; A  C_EA = ; C_EE = ; C_E = E; C_EC_EA = A;

C_E(A  B) = C_EA  C_EB; C_E(A  B) = C_EA  C_EB;

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність і перевірити її за допомогою діаграми Ейлера-Вейна.

Із записаних вище співвідношень видно, що

 = A \ В

Що й було потрібно довести.

Для ілюстрації отриманого результату побудуємо діаграми Ейлера-Вейна:

А В А В

AB

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність.

A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)

Якщо деякий елемент х  А \ (В  С), то це означає, що цей елемент належить множині А, але не належить множинам В и С.

Множина А \ В являє собою множину елементів множини А, що не належать множині В.

Множина А \ С являє собою множину елементів множини А, що не належать множині С.

Множина (A \ B)  (A \ C) являє собою множина елементів, які належать множині А, але не належать ні множині В, ні множині С.

Таким чином, тотожність можна вважати доведеною.