Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі в припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при .

Теорема 2.

Доведення цієї теореми буде наведено нижче.

Теорема 3.

Наслідок.

Теорема 4. за умови

Теорема 5. Якщо f(x)>0 поблизу точки х = а й , то А>0.

Аналогічно визначається знак границі при

Теорема 6. Якщо поблизу точки х = а й , то й .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженою поблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x)<M поблизу точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при , то вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. Нехай , тобто , тоді

або

, тобто

де М =  + А

Теорему доведено.

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при ха, де а може бути числом або однією з величин , + або – , якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад. Функція f(x) = xⁿ є нескінченно малою при х0 і не є нескінченно малою при х1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де – нескінченно мала при ( при .

Властивості нескінченно малих функцій:

1. Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

2. Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

3. Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при .

4. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2. Представимо , , де

, тоді

A + B = const, – нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3. Представимо , , де

, тоді

, і – нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.

Визначення. Границя функції f(x) при ха, де а – число, що дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М >0 існує таке число >0, що нерівність

виконується при всіх х, що задовольняють умові

Записується .

Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову на f(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:

a x a x a x

Визначення. Функція називається нескінченно великою при ха, де а – число або одна з величин , + або – , якщо , де А – число або одна з величин , + або – .

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема. Якщо при (якщо ) і не обертається в нуль, то