Зв'язок сферичної системи координат з декартовою прямокутної.

У випадку сферичної системи координат співвідношення мають вигляд:

Лінійний (векторний) простір.

Як відомо, лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначені по-своєму для кожної множини (числа, багаточлени, направлені відрізки, матриці). Самі операції різні, але їхні властивості однакові.

Ця спільність властивостей дозволяє узагальнити поняття лінійних операцій для будь-яких множин поза залежністю від того, що це за множини (числа, матриці й т.д.).

Для того, щоб дати визначення лінійного (векторного) простору розглянемо деяку множину L дійсних елементів, для яких визначені операції додавання й множення на число.

Ці операції мають властивості:

1. Комутативність + = +

2. Асоціативність ( + ) + = + ( + )

3. Існує такий нульовий вектор , що + = для   L

4. Для   L існує вектор = – , такий, що + =

5. 1 =

6. ( ) = ()

7. Розподільний закон ( + ) =  + 

8. ( + ) =  + 

Визначення: Множина L називається лінійним (векторним) простором, а його елементи називаються векторами.

Важливо не плутати поняття вектора, наведене вище з поняттям вектора як направленого відрізка на площині або в просторі. Направлені відрізки є всього лише часткою случаємо елементів лінійного (векторного) простору. Лінійний (векторний) простір – поняття ширше. Прикладами таких просторів можуть слугувати множина дійсних чисел, множина векторів на площині й у просторі, матриці й т.і.

Якщо операції додавання й множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійний (векторний) простір є дійсним простором, якщо для комплексних елементів – комплексним простором.

Властивості лінійних просторів.

1. У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.

2. Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.

3. Для кожного  L вірно 0 = 0

4. Для кожного і  L вірно  =

5. Якщо  = , те  = 0 або =

6. (–1) = –

Лінійні перетворення.

Визначення: Будемо вважати, що в лінійному просторі L задане деяке лінійне перетворення А, якщо будь-якому елементу  L за деяким правилом ставиться у відповідність елемент А  L.

Визначення: Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів  L і  L і кожного  вірно:

A( + ) = A +A

A( ) = A

Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворить елемент лінійного простору сам у себе.

Е =

Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А = + ;  0.

Запишемо перетворення А для якогось елемента . А = + . Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , що вірно тільки при = 0, тобто дане перетворення А нелінійне.

Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворення , те інший вектор є лінійною комбінацією векторів .

Визначення: Якщо тільки при  =  = … =  = 0, то вектори називаються лінійно незалежними.

Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n+1 векторів лінійно залежні, то простір L називається n-мірним, а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.

Наслідок: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.