Поверхні обертання.

Визначення. Поверхня, описана деякою лінією, що обертається навколо нерухомої прямої d, називається поверхнею обертання з віссю обертання d.

Якщо рівняння поверхні в прямокутній системі координат має вигляд: , то ця поверхня – поверхня обертання з віссю обертання Оz. Аналогічно: – поверхня обертання з віссю обертання Оу, – поверхня обертання з віссю обертання Ох.

Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:

1. - еліпсоїд обертання

2. - однопорожнинний гіперболоїд обертання

3. - двопорожнинний гіперболоїд обертання

4. - параболоїд обертання

Аналогічно можуть бути записані рівняння для розглянутих вище поверхонь обертання, якщо осями обертання є осі Ох або Оу.

Однак, перераховані вище поверхні є всього лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального виду, деякі типи яких розглянуті нижче:

Сфера:

Тривісний еліпсоїд:

У перетині еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.

Однопорожнинний гіперболоїд:

Двопорожнинний гіперболоїд:

Еліптичний параболоїд:

Гіперболічний параболоїд:

Конус другого порядку:

Циліндрична й сферична системи координат.

Як і на площині, у просторі положення будь-якої точки може бути визначене трьома координатами в різних системах координат, відмінних від декартової прямокутної системи. Циліндрична й сферична системи координат є узагальненням для простору полярної системи координат, що була докладно розглянута вище.

Введемо в просторі точку О и промінь l, що виходить із точки О, а також вектор . Через точку О можна провести єдину площину, перпендикулярну вектору нормалі .

Для введення відповідності між циліндричною, сферичною й декартовою прямокутною системами координат точку О суміщають з початком декартової прямокутної системи координат, промінь l – з позитивним напрямком осі х, вектор нормалі – з віссю z.

Циліндрична й сферична системи координат використовуються в тих випадках, коли рівняння кривій або поверхні в декартовій прямокутній системі координат виглядають досить складно, і операції з таким рівнянням виглядають трудомісткими.

Подання рівнянь у циліндричній і сферичній системі дозволяє значно спростити обчислення, що буде показано далі.

z

М



 h

О  x

r

M₁

y

ОМ₁ = r; MM₁ = h;

Якщо з точки М опустити перпендикуляр ММ₁ на площину, то точка М₁ буде мати на площині полярні координати (r, ).

Визначення. Циліндричними координатами точки М називаються числа (r, , h), які визначають положення точки М у просторі.

Визначення. Сферичними координатами точки М називаються числа (r, , ), де  – кут між  і нормаллю.

Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною системами координат.

Аналогічно полярній системі координат на площині можна записати співвідношення, що зв'язують між собою різні системи координат у просторі. Для циліндричної й декартової прямокутної систем ці співвідношення мають вигляд: