Системи координат.

Будь-яка точка на площині може бути однозначно визначена за допомогою різних координатних систем, вибір яких визначається різними факторами. Спосіб задання початкових умов для розв’язання якої-небудь конкретної технічної задачі може визначити вибір тієї або іншої системи координат. Для зручності проведення обчислень часто краще використати системи координат, відмінні від декартової прямокутної системи. Крім того, наочність подання остаточної відповіді найчастіше теж сильно залежить від вибору системи координат. Нижче розглянемо деякі найбільше часто використовувані системи координат.

Полярна система координат.

Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.

Суть задання який-небудь системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність пару дійсних чисел, що визначають положення цієї точки на площині. У випадку полярної системи координат роль цих чисел грають відстань точки від полюса й кут між полярною віссю й радіус-вектором цієї точки. Цей кут  називається полярним кутом.

М

r

r =



О

l

Можна встановити зв'язок між полярною системою координат і декартовою прямокутною системою, якщо помістити початок декартової прямокутної системи в полюс, а полярну вісь направити уздовж додатного напрямку осі Ох.

Тоді координати довільної точки у двох різних системах координат зв'язуються співвідношеннями:

; ;

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної й полярної системи координат: ;

Одержали канонічне рівняння еліпса. З рівняння видно, що центр еліпса зсунутий вздовж осі Ох на 1/2 вправо, велика піввісь a дорівнює 3/2, менша піввісь b дорівнює , половина відстані між фокусами дорівнює . Ексцентриситет дорівнює е = с/a = 1/3. Фокуси F₁(0; 0) і F₂(1; 0).

y

F₁ F₂

–1 О ½ 1 2 x

–

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Підставимо в задане рівняння формули, що зв'язують полярну й декартову прямокутну системи координат.

Одержали канонічне рівняння гіперболи. З рівняння видно, що гіпербола зсунута вздовж осі Ох на 5 вліво, велика піввісь а дорівнює 4, менша піввісь b дорівнює 3, звідки одержуємо c² = a² + b² ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокуси F₁(–10; 0), F₂(0; 0).

Побудуємо графік цієї гіперболи.

y

3

F₁ –9 –5 –1 О F₂ x

–3

Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність точок, координати яких у деякій обраній у просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Крім того, лінія в просторі може бути визначена й інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 – рівняння поверхонь, що перетинаються по лінії L.

Тоді пари рівнянь

назвемо рівнянням лінії в просторі.