Рівняння прямої у відрізках.
Я
кщо
в загальному рівнянні прямої Ах +
Ву + С = 0, С
0, то, розділивши на –С, одержимо:
або
,
де
Геометричний зміст коефіцієнтів у тім, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.
Приклад. Задано загальне рівняння прямій х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.
С = 1,
, а
= –1, b = 1.
Нормальне рівняння прямої.
Якщо обидві частини рівняння Ах +
Ву + С = 0 розділити на число
,
що називається нормуючим множником,
то одержимо
xcos + ysin – p = 0 –
нормальне рівняння прямої.
Знак нормуючого множника треба вибирати так, щоб С < 0.
р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а – кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.
Приклад. Дано загальне рівняння прямій 12х – 5у – 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цій прямій.
рівняння цієї
прямої у відрізках:
рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)
нормальне рівняння прямої:
; cos
= 12/13; sin = –5/13; p
= 5.
Слід відзначити, що не кожну пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або такі, що проходять через початок координат.
Приклад. Пряма відтинає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8 дм2.
Рівняння
прямої має вигляд:
, a
= b = 1; ab/2
= 8; a = 4; –4.
a = –4 не підходить по умові задачі.
Разом:
або х + у – 4 = 0.
Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(–2, –3) і початок координат.
Рівняння
прямої має вигляд:
,
де х1 = у1 = 0; x2
= –2; y2 = –3.
Для самостійного розв’язання: Скласти рівняння прямих, що проходять через точку М(–3, –4) і паралельних осям координат.
Відповідь: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.
Кут між прямими на площині.
Визначення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як
.
Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.
Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = –1/k2.
Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ще й С1 = С, те прямі збігаються.
Координати точки перетину двох прямих є як розв’язками системи двох рівнянь.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
Визначення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:
Відстань від точки до прямої.
Т
еорема.
Якщо задано точку М(х0,
у0), то відстань до прямій Ах
+ Ву + С =0 визначається як
.
Доведення. Нехай точка М1(х1, у1) – основа перпендикуляра, опущеного із точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М и М1:
(1)
Координати x1 і у1 можуть бути знайдені як розв’язки системи рівнянь:
Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої.
Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, розв’язуючи, одержимо:
Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:
.
Теорему доведено.
Приклад. Визначити кут між прямими: y = –3x + 7; y = 2x + 1.
k1
= –3; k2 = 2 tg
=
;
= /4.
Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 і 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k1 = 3/5, k2 = –5/3, k1k2 = –1, отже, прямі перпендикулярні.
Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; –1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.
Знаходимо рівняння сторони АВ:
;
4x = 6y – 6;
2x – 3y
+ 3 = 0;
Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.
k =
.
Тоді y =
.
Оскільки висота проходить через точку
С, то її координати задовольняють
даному рівнянню:
звідки
b = 17. Разом:
.
Відповідь: 3x + 2y – 34 = 0.
Для самостійного розв’язання: Дані сторони трикутника x + y – 6 = 0,
3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Скласти рівняння його висот.
Вказівка: Спочатку варто знайти координати вершин трикутника, як точок перетину сторін, потім скористатися методом, розглянутому в попередньому прикладі.
Відповідь: {x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.