Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в якій-небудь або системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису й початку координат.

Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Відзначимо, що рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.

Характерний приклад – траєкторія точки, що рухається. У цьому випадку роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

В изначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А² + В²  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень сталих А, В и С можливі наступні окремі випадки:

• C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0} – пряма паралельна осі Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – пряма паралельна осі Оу

• В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

• А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від яких-небудь заданих початкових умов.

Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний прямій, заданій рівнянням Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, –1).

Складемо при А = 3 і В = –1 рівняння прямої: 3х – у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Одержуємо: 3 – 2 + C = 0, отже С = –1.

Разом: шукане рівняння: 3х – у – 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Н ехай у просторі задані дві точки M₁(x₁, y₁, z₁) і M₂(x_2, y₂, z₂), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь зі знаменників дорівнює нулю, варто прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямій спрощується:

якщо х₁  х₂ і х = х₁, якщо х₁ = х₂.

Дріб = k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) і В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, одержуємо:

Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.

Якщо загальне рівняння прямій Ах + Ву + С = 0 привести до виду:

і позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання прямої через точку й напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожний ненульовий вектор (₁, ₂), компоненти якого задовольняють умові А₁ + В₂ = 0 називається напрямним вектором прямої Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, –1), що проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1A + (–1)B = 0, тобто А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0. При х = 1, у = 2 одержуємо С/A = –3, тобто шукане рівняння:

х + у – 3 = 0