2.2. Примеры и задачи

П

Рис.2.2

ример 2.1. Цистерна с нефтью движется по горизонтальному пути со скоростью v₀ = 60 км/ч (рис.2.2). Размеры цистерны, м: d = 3, l = 8, h = 0,3. Плотность нефти ρ = 850 кг/м³. В некоторый момент времени поезд начинает тормозить и пройдя путь длиной L=100 м, останавливается.

Считая движение прямолинейными равномерно замедленными, определить силу Р давления нефти на переднее днище цистерны при движении и в состоянии покоя.

Решение. При равномерно-замедленном движении ускорение:

а = –v₀²/2L = – (60·10³/3600)²/(2·100) = –1,39 м/с².

Ускорение цистерны направлено влево, а напряжение силы инерции переносного движения – вправо. Определим угол φ наклона свободной поверхности жидкости к горизонту. Поскольку цистерна движется горизонтально, то а = 0, тогда:

tg φ = –a/g = 1,39/9,8 = 0,142, φ = 8,07º.

Bычислим высоту, на которой устанавливается у передней стенки продолжение плоскости свободной поверхности жидкости:

∆h = l/2·tg φ = (8/2)0,142 = 0,568 м.

Сила давления жидкости на переднюю стенку цистерны: Р = ρ·g·h_T·s, где h_T – глубина погружения центра тяжести стенки под уровень свободной поверхности; s – площадь стенки.

Поскольку h_T = ∆h+h+d/2, то Р = ρg(∆h+h+d/2)(πd²/4) = 140 кH.

В состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения (а = 0) свободная поверхность жидкости горизонтальна, и сила, действующая на торцевую стенку, равна:

Р = ρg(h + d/2)(πd²/4) = 106 кН.

П

Рис. 2.3

ример 2.2. Вертикальный цилиндрический сосуд диаметром D = 40см и высотой Н = 100 см наполнен до половины водой (рис.2.3). Определить, с каким предельным числом оборотов можно вращать этот сосуд около его геометрической вертикальной оси, чтобы из него не выливалась вода, а также определить силу давления жидкости на дно сосуда.

Решение. Согласно рис. 5, Н = z₀+h.

Тогда z₀ = h₀ – ω²·r²/4g, h = ω²r²/2g,

H = z₀+h = h₀+ ω²·r²/4g.

С другой стороны, начальный уровень в резервуаре

h₀ по условию равен Н/2 и, следовательно, h = Н/2 + ω²r²/4g, откуда

ω = /R = /0,2 = 2,21 c^-1.

Предельное число оборотов в минуту: n = 30ω/π = 221 об/мин.

Для определения силы давления жидкости на дно сосуда найдем закон распределения избыточного давления, полагая р₀ = р_а. Тогда

р_и = р – р_а = ρ(ω²r²/2) + ρg(z₀ – z).

Определим неизвестную величину параболоида z₀:

z₀ = h₀ – ω²r²/2g = H/2 – H/2 = 0,

т.е. параболоид свободной поверхности касается дна сосуда, и закон распределения избыточного давления: р_и = ρ(ω²r²/2) – ρ·g·z.

Для точек на дне сосуда (z = 0) избыточное давление: р_и = ρ(ω²r²/2).

Силу давления на дно сосуда найдем как сумму элементарных сил давления, действующих на элементарные кольцевые площадки, равные 2πr dr:

P = ∫ р_и 2πr dr = πρω²∫ r³dr = (π/4) ρω² R⁴ = 614 H.

З адача 2.1. Призматический сосуд (рис.2.4) длиной l = 3 м и шириной (нормальной к плоскости рисунка) 1 м, перемещающийся горизонтально с постоянным ускорением а = 0,4g, разделен на два отсека, заполненных водой до высоты h₁ = 1м и h₂ = 1,75м..

О

Рис. 2.4.

пределить результирующую силу давления на перегородку, разделяющую отсеки.

З адача 2.2. Закрытый сверху цилиндр (рис.2.5) с диаметром D = 0,9 м и высотой H=0,8 м содержит воду в количестве V = 0,35 м³ и вращается вокруг вертикальной оси c угловой скоростью ω = 100 с^-1.

О

Рис. 2.5

пределить усилия, действующие при этом значении ω на крышку цилиндра, если давление на поверхности воды атмосферное.

З

Рис. 2.6

адача 2.3. Определить силу давления жидкости на торцевую плоскую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны (рис.2.6) диаметром d = 2,4 м, заполненной бензином плотностью ρ = 760 кг/м³, если уровень бензина в горловине находится на расстоянии Н = 2,7м от дна. Цистерна герметично закрыта и избыточное давление на поверхности жидкости составляет 40 кПа.