2. Основное уравнение гидростатики

Гидростатическое давление и его свойства. Закон Паскаля

Гидростатика изучает законы равновесия жидкостей, находящихся под действием внешних сил.

Силы, действующие на жидкое тело (объем):

Поверхностные силы приложены к тонкому поверхностному слою частиц; к ним относятся силы давления и трения.

Массовые (объёмные) силы действуют на все частицы жидкого тела: это – силы тяжести и инерции.

Напряжения силы – это удельная сила, действующая либо на единицу площади, либо на единицу массы.

Основной характеристикой равновесного состояния жидкого тела является внутреннее напряжение сжатия, возникающее вследствие действия внешних сил, называемое гидростатическим давлением р, или просто давлением.

р = Р/s, Н/м² = Па. (1.10)

Гидростатическое давление обладает двумя важными свойствами:

1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к воспринимающей его поверхности (поверхности воздействия).

2. Гидростатическое давление в точке жидкого объёма по всем направлениям одинаково, т.е. является скалярной, а не векторной величиной.

p_x = p_y = p_z = p. (1.11)

Следствием последнего свойства гидростатического давления является закон Паскаля.

Закон Паскаля: Изменение давления в замкнутом объёме жидкости (газа) передается по всему объёму одинаково.

Простейшим прибором для измерения давления в сосуде с жидкостью является пьезометр, представляющий собой вертикальную открытую сверху стеклянную трубку, присоединяемую к сосуду. Пьезометр измеряет избыточное давление на поверхности жидкости в сосуде.

Пьезометрическая высота равна:

h_п = (p₀ – pa)/(ρg) = ∆p/(ρg), (1.12)

где р_а – атмосферное давление.

Гидростатическое давление по глубине жидкости распределяется по основной формуле гидростатики:

р = р₀+ ρg(z₀–z), (1.13)

где р₀ – внешнее (обычно атмосферное, барометрическое давление).

Записав формулу в виде:

Н = р₀/(ρg) + z = p/(ρg), (1.14)

сформулируем: гидростатический напор Н равен сумме напора положения (геометрического или геодезического) и напора давления (пьезометрического).

Вакуум: если полное давление внутри сосуда р_i меньше барометрического внешнего давления, то разность между ними называется вакуумом:

Р_вак = р_атм – р_i. (1.15)

1.2. Примеры и задачи

Пример 1.1. В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром d = 4 м хранится 100 т нефти, плотность которой при 0ºС ρ₀ = 850 кг/м³.

Определить изменение уровня в резервуаре при изменении температуры нефти от 0 до 30 ºС. Расширение резервуара не учитывать. Коэффициент теплового расширения нефти принять равным β_t = 0,00072 ºС^-1.

Решение. Объём, занимаемый нефтью при температуре 0ºС:

V = m/ρ = 100·10³/850 = 118 м³.

В соответствии с формулой(1.6) изменение объёма при изменении температуры на 30ºС:

∆V = β_tV∆T = 0,00072·118·30 = 2,55 м³

Изменение уровня нефти в резервуаре:

h = 4∆V/πd² = 2,55·4/3,14·16 = 0,203 м.

Пример 1.2. При гидравлических испытаниях водовода длиной 1000 м, диаметром 300 мм, избыточное давление повышают до 2 МПа путём закачивания дополнительного объёма воды. Определить этот объём, если β_v = 2·10^-9 Па ^-1.

Решение. ∆V = β_vV∆p= 2·10^-9·70,65·2·10⁶ = 0,2826 м³,

где V = πD²l/4 = 3,14·1/4 = 70,65 м³.

П

Рис. 1.1

ример 1.3. Гидроусилитель состоит из двух цилиндров с поршнями диаметрами D = 0,5 м и d = 0,1 м; a = 0,1 м; b = 0,4 м; заполненными жидкостью и сообщающихся между собой (рис. 1.1); F = 10 Н. Найти силу давления на второй поршень.

Решение. Сила, развиваемая вторым поршнем равна: G = F((a + b)/a)(D/d)² = 10 ((0,1+0,4)/0,1)(0,5/0,1)2 = 1250 H.

П ример 1.4. В закрытом резервуаре с нефтью плотностью ρ = 880 кг/м³. вакууметр, установленный на его крышке, показывает р_в = 1,18·10⁴ Па (рис. 1.2).

О

Рис. 1.2

пределить показание манометра р_м, присоединенного к резервуару на глубине Н = 6м от поверхности жидкости, и положение пьезометрической плоскости.

Решение. Проведём плоскость 1-1 на уровне присоединения манометра. В этой плоскости абсолютное давление в соответствии с основным уравнением гидростатики равно:

р_1-1 = р₀ + ρgH,

где р₀ – абсолютное давление на поверхности, равное р_а – р_в.

Тогда р_1-1 = р_а – р_в + ρgH.

С другой стороны, поскольку манометр измеряет избыточное давление (р_м – р_а), то P_1-1 = р_а + р_м.

Приравняв два выражения для P_1-1, найдем р_м:

р_м = – р_в + ρgH = – 1,18·10⁴ +880·9,8·6 = 3,99·104 Па.

Поскольку на поверхности жидкости давление меньше атмосферного, то пьезометрическая высота отрицательна:

h = ∆p/(ρg) = – р_в/ρg = –1,18·10⁴/(880·9,8)= –1,37 м.

и пьезометрическая плоскость расположена ниже поверхности жидкости на расстоянии 1,37 м.

Задача 1.1. Определить плотность воды и нефти при 4ºC, если известно, что 10 л воды при 4ºC имеет массу 10 кг, а масса того же объёма нефти равна 8,2 кг. Сравнить плотность нефти с плотностью воды.

Задача 1.2. Определить, насколько поднимется уровень нефти в цилиндрическом резервуаре при увеличении температуры от 15 до 40ºC. Плотность нефти 15ºC ρ_н = 900 кг/ м³. Диаметр резервуара d = 10 м; нефть заполняет резервуар при 15ºC до высоты Н = 12 м. Коэффициент теплового объёмного расширения нефти βt = 6,4·10^-4 ºС^-1. Расширение резервуара не учитывается.

Задача 1.3. Трубопровод диаметром d = 0,3 м, длиной l =100 м, подготовленный к гидравлическому испытанию, заполнен водой при атмосферном давлении.

Какое количество воды необходимо дополнительно подать в трубопровод, чтобы давление в нём поднялось до 5 МПа по манометру? Коэффициент сжимаемости воды принять равным β_v = 0,5·10^-9 Па^-1. Деформацией трубопровода пренебречь.

З

Рис. 1.3

адача 1.4. Определить избыточное давление р_и на поверхности жидкости в резервуаре и пьезометрическую высоту h_п, если высота H = 0,6 м, а показания ртутного манометра h = 80 мм. Плотность жидкости ρ = 800 кг/м³, плотность ртути ρ_р = 13600 кг/м³.(рис.1.3).

Задача 1.5. В какой из точек, расположенных на одной горизонтали – А или В (рис.3) – давление выше?

Задача 1.6. Сможет ли насос откачивать бензин плотностью ρ = 750 кг/м³ из закрытого резервуара, поверхность которого расположена на 8 м ниже оси насоса, если на всасывающем патрубке насоса абсолютное давление не может быть меньше, чем 5,5·10⁴ Па, а избыточное давление на поверхности резервуара р_и = 10⁴ Па. Принять Ра = 10⁵ Па.