Тема 5. Показатели вариации (колеблемости) признака.

5.1. Рассчитайте показатели вариации для дискретного ряда (не сгруппированных) данных, если известны выработка двух бригад строителей по одному виду продукции. Данные представлены в табл. 5.1.

Табл. 5.1

№ п/п	Выработка в дет.		(xi – Xср)		(xi – Xср)²
	1 бриг.	2 бриг.	1 бриг.	2 бриг.	1 бриг.	2 бриг.
1	2	3	4	5	6	7
1	14	15	7	7	49	49
2	16	18	5	4	25	16
3	17	20	4	2	16	4
4	21	22	0	0	0	0
1	2	3	4	5	6	7
5	23	24	2	2	4	4
6	26	26	5	4	25	16
7	30	29	9	7	81	49
Итого	147	154	32	26	200	138

Решение

а) Абсолютные показатели вариации: размах вариации–R=Xmax – Xmin:

R1 = 30 – 14 = 16 деталей;

R2 = 29 – 15 = 14 деталей.

Отклонение крайних вариант выработки в 1 бригаде на две детали выше, чем во второй (16 – 14).

Для нахождения остальных показателей вариации необходимо найти среднюю выработку по каждой бригаде. Определяем среднюю выработку по средней арифметической простой: Хср = ∑х / n;

Хср1 = 147 / 7 = 21 деталь;

Хср2 = 154 / 7 = 22 детали;

среднее линейное отклонение: d = ∑(x – Xcр) / n;

dср1 = 32/ 7 = 4,57 деталей;

dср2 = 26 / 7 = 3,7 деталей.

Степень рассеивания признаков в 1-й бригаде выше, чем во 2-й.

Дисперсия (средний квадрат отклонений) и среднее квадратическое от-клонение для несгруппированных данных рассчитывается по формулам:

σ² = ∑(х – Хср)² / n;

σ = √∑(х – Хср)² / n;

σ1² = 200 / 7 = 28,57 деталей;

σ2² = 138 / 7 = 19,70 деталей;

σ1 = √ 28,57 = 5,34 деталей;

σ2 = √ 19,70 = 4,43 детали.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Соотношение σ : dср для нормального закона распределения должно равняться примерно 1 : 2. В задаче соотношение: 1бр=5,34 / 4,57 = 1,17; 2бр = 4,43 / 3,7 = 1,2. Следовательно, резких выделяющихся отклонений не однородных с основной массой элементов не наблюдается.

б) Относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции или относительный размах вариации:

VR = (R / Xср)х100%; R1 = (16х100)/21 = 76%; R2 = (14х100)/22 = 63%.

Колеблемость крайних показателей выработки вокруг средней в 1-й бригаде больше, чем во 2-й.

Линейный коэффициент (относительное линейное отклонение):

υdср=(dср / Xср)х100%; υdср1=(4,57х100)/21=21%; υdср2=(3,7х100)/22=17%

Доля усредненных значений абсолютных отклонений от средней в 1-й бригаде выше, чем во 2-й на четыре процента (21-17).

Коэффициент вариации: υσ = (σ ∙ 100%) / Хср;

υσ 1 = (5,34х100)/21=25%; υσ2 = (4,43х100)/22=20,1%.

Так как коэффициент вариации < 17%, совокупности считаются однород-ными.

5.2. Имеется распределение предприятий по объему выпуска продукции:

Табл. 5.2.

Группы предприятий по выпуску продук-ции (х), млн.р.	Число предпри- тий f	х′ = х/2	х′ ∙ f	х – Хср	(х–Хср)∙ f	(х–Хср)² ∙ f
До 2	2	1	2	3,8	7,6	28,88
2-4	5	3	15	1,8	9,0	16,20
4-6	8	5	40	0,2	1,6	0,32
6-8	3	7	21	2,2	6,6	14,52
8-10	2	9	18	4,2	8,4	35,28
Итого:	20		96		33,2	95,2

Оценить вариационный ряд по выпуску продукции.

Решение

1. Хср=∑[(х/2)∙f]/∑f=96/20=4.8 млн. руб.

2. dср=∑[(xi-Xср)∙f]/∑f=33,2/20=1,66 млн. руб.

3. σ²=∑[(xi-Xср)²∙f]/∑f=95,2/20=4,76 млн. руб.

4. σ=√∑[(xi-Xср)²∙f]/∑f=√95,2/20=2,18 млн. руб.

5. υσ= σ/Хср=(2,18/4,8) x 100=45,4%

Следовательно, вариация групп предприятий по выпуску продукции абсолютно однородная, т.к. коэффициент вариации меньше 17% составляет 10%.

5.3. По двум цехам известны разряд и число рабочих. Дать квалификационную характеристику рабочих и рассчитать средний тарифный разряд. Показать правило сложения дисперсий, найти все виды дисперсий.

Табл. 5.3.

Раздел(х)	Распределение рабочих (f)			х ∙ f1	х ∙ f2	х ∙ f
	Цех 1 (f1)	Цех 1 (f2)	Всего (f)
1	5	10	15	5	10	15
2	9	21	30	18	42	60
3	9	11	20	27	33	60
4	10	5	15	40	20	60
5	12	3	15	60	15	75
6	3	2	5	18	12	30
Итого:	48	52	100	168	132	300

Решение

1. Для квалификационной характеристики состава рабочих необходимо найти средний тарифный разряд для каждой бригады и общий по двум бригадам:

Хср=∑(хf)/∑f; Хср1=168/48=3,5; Хср2=132/52=2,54; Хсробщ=300/100=3

2. Рассчитаем общую дисперсию:

σ² =∑[(х-Хср)² f]/∑f = [(1-3)²∙15+(2-3)²∙30+(3-3)²∙20+(4-3)²∙15+(5-3)²∙15+

+(6-3)²∙5] / 100 =210 / 100 = 2,1.

3. Рассчитаем групповую дисперсию:

σi² = =∑[(хi-Хср)² fi]/∑fi

σ1² = [(1-3,5)²∙5+(2-3,5)²∙9+(3-3,5)²∙9+(4-3,5)²∙10+(5-3,5)²∙12+(6-3,5)²∙3]/48 . = 102 / 48 = 2,125.

4. Рассчитаем групповую дисперсию по второму цеху:

σ2² = [(1-2,54)²∙10+(2-2,54)²∙21+(3-2,54)²∙11+(4-2,54)²∙5+(5-2,54)²∙3+(6-

-2,54)²∙2] / 52 = 84,9 / 52 = 1,633.

5. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:

σi² = ∑(σ1²f1+ σ2²f2) / ∑f = (2,125∙48 + 1,633∙52) / 100 = 186,91/100=1,87

Таким образом, средний тарифный разряд колеблется по 1-му цеху – 2,125; по 2-му цеху – 1,633; по обоим цехам вместе - 1,87.

6. Оценим колеблемость признака через межгрупповую дисперсию:

Y² = {∑[(Хср1 – Хсро)² f1] /∑f1}- {∑[(Хср2 – Хсро)² f2] /∑f2}=[(3,5-3)²∙48-(2,54-3)²∙52]/100=23/100=0,23

Итак, колеблемость групповых средних по сравнению с общей равна 0,23. Для проверки правильности выбранного решения используем правило сложения дисперсии: сумма межгрупповых дисперсий и средней из групповых равна общей дисперсии: σ² = Y² + σсрi²; 1,87 + 0,23 = 2,1, что подтверждает правильность решения.