4. Математические модели элементов су эп

Проектирование и исследование характеристик (показателей качества) спроектированных СУ ЭП, решение задач синтеза и анализа СУ ЭП базируется на знании математических моделей элементов объектов и устройств управления.

4.1. Методы описания и исследования динамических управляемых объектов в частотной и временной области

СУ ЭП - динамические системы, содержащие как минимум один вход и один выход и обеспечивающие преобразование входных (задающих и возмущающих) воздействий в выходные (управляемые) переменные. В этом преобразовании могут участвовать достаточно большое число динамических элементов, называемых звеньями САУ. Характерной особенностью звеньев САУ является однонаправленность, т. е. отсутствие или ничтожное влияние выходных сигналов на входные. Данное обстоятельство позволяет осуществить декомпозицию ОУ и СУ ЭП в целом на ряд достаточно простых динамических звеньев, описываемых хорошо известными в математике методами. При этом физическая природа входных и выходных переменных звеньев может быть различной. Например, входными (управляющими) воздействиями электродвигателя постоянного тока являются напряжения на обмотках якоря и возбуждения, а выходными переменными – вращающий момент на валу двигателя и скорость его вращения, т. е. осуществляется преобразование электрической энергии в механическую.

Для составления уравнений элементов САУ используют фундаментальные законы природы, описываемые уравнениями Ньютона, Лагранжа, Ома, Кирхгофа и т.п. Математические модели подавляющего большинства технических ОУ уже разработаны, причем с различной степенью детализации (с различными допущениями) и подробно рассматриваются в соответствующих дисциплинах – механике, электротехнике, электромеханике, термодинамике и т. п. При этом для описания элементов САУ используют различные формы, в частности:

1. функциональные схемы той или иной степени детализации, в том числе схемы замещения;

2. обыкновенные дифференциальные уравнения (для объектов с сосредоточенными параметрами) или дифференциальные уравнения в частных производных (для объектов с распределенными параметрами);

3. операторные уравнения, передаточные функции и матрицы, т.е. функции комплексной переменной s или оператора p Лапласа (в непрерывных САУ), функции комплексной переменной z (в дискретных САУ);

4. структурные схемы;

5. сигнальные графы;

6. частотные характеристики и диаграммы на их основе;

7. векторно-матричные уравнения;

8. схемы пространства состояний.

Большинство методов описания СУ ЭП базируется на теории линейных систем. Если хотя бы один элемент СУ ЭП содержит нелинейный элемент, то такая система является нелинейной и требует применения специальных методов исследования [2-4].

Синтез и анализ СУ ЭП осуществляют в частотной или временной области, что предполагает применение различных форм математического описания элементов СУ ЭП.

Частотные методы синтеза и анализа применимы к линейным стационарным объектам и системам (непрерывным и дискретным) практически любой сложности. Сущность частотных методов исследования СУ ЭП заключается в оценке устойчивости и качества по установившейся реакции системы на гармоническое воздействие различной частоты (оцениваются изменение амплитуды и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного). При этом переход от операторной формы представления к частотной осуществляется простейшей заменой оператора p на в операторных уравнениях непрерывных СУ ЭП и оператора z на в операторных уравнениях дискретных САУ. Наиболее часто для описания и исследования СУ ЭП частотными методами применяют:

- логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой САУ - диаграмму Боде (позволяют оценить абсолютную и относительную устойчивость – запас по модулю и фазе замкнутой САУ, полосу пропускания контура, частоту резонанса и другие характеристики);

- амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САУ - диаграмму Никольса (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ и косвенно ряд других показателей);

- диаграмму (годограф) Найквиста разомкнутой САУ (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ);

Временные методы синтеза и анализа СУ ЭП применимы к линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным, непрерывным и дискретным, одно- и многомерным СУ ЭП любой сложности. Сущность временных методов анализа заключается в получении прямых или косвенных показателей качества управления по реакции СУ ЭП на типовой тестовый сигнал (обычно в виде единичной ступенчатой функции). Прямые оценки качества регулирования обычно определяют по виду переходной характеристики (время регулирования, время нарастания регулирования, перерегулирование, время запаздывания, частота установившихся колебаний, коэффициент затухания колебаний). К косвенным оценкам качества СУ ЭП относят обычно интегральные, в том числе интегральные квадратичные критерии. Они же, как уже отмечалось, лежат в основе формальных оптимизационных процедур синтеза СУ ЭП.

При исследовании СУ ЭП временными методами применяют решение тем или иным методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих элементы СУ ЭП и связи между ними, относительно заданных переменных с использованием средств вычислительной техники. Наибольшее применение при решении дифференциальных уравнений СУ ЭП нашли методы Эйлера 1-го порядка, Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка, а также метод матриц переходных состояний, позволяющий практически с любой требуемой точностью осуществить переход системы из произвольного начального состояния в следующее, отстоящее на период, заданный в матрице перехода. Последний из методов базируется на векторно-матричном аппарате исследования систем и ориентирован на применении цифровой вычислительной техники (персональных компьютеров) и соответствующих программных систем и математических пакетов расширения.

Заметим, что, хотя между свойствами СУ ЭП во временной и частотной областях отсутствует прямая связь, по виду частотных характеристик можно во многом судить о поведении системы во временной области. Целесообразность применения того или иного метода применительно к простым СУ ЭП не всегда очевидна и требует дополнительного анализа. Применительно к сложным СУ ЭП и АСУ ТП целесообразность применения временных методов исследования не вызывает сомнений.