7.3.2. Коррекция с отставанием по фазе

Рассмотрим корректирующее устройство, выполненное на основе операционного усилителя (рис. 7.4) с передаточной функцией

, (7.20)

где K_ку = R₂ / R₁, T₁ = R₁C₁, T₂ = R₂C₂, , k = T₂ / T₁, т. е. для реализации отставания по фазе, как и для звена с опережением, должно выполняться условие: k > 1.

Его частотную характеристику можно записать в виде

, (7.21)

где , .

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: K_ку, , k.

На рис. 7.6 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 7.7 – диаграмма Боде корректирующего устройства с отставанием по фазе.

Рис. 7.7. Диаграмма Боде корректирующего звена

с отставанием по фазе

Рис. 7.6. Расположение полюса и нуля корректирующего звена с отставанием по фазе

Поскольку по модулю нуль больше полюса асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек в области средних частот, т.е. при . Фазовая характеристика в соответствие с (7.21) определяется уравнением

. (7.22)

Отрицательный фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т. е.

. (7.23)

Чем меньше кратность отношения нуля к полюсу, тем меньше максимальный отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством и меньше его дестабилизирующее действие. В любом случае компенсация такого отрицательного явления, т. е. увеличение запаса по фазе, обеспечивается корректирующим устройством за счет снижения коэффициента усиления на -20lgk. При этом происходит снижение частоты среза и, тем самым, полосы пропускания скорректированной СУ ЭП, а, значит, повышается помехозащищенность системы.

Синтез корректирующего устройства с отставанием фазы выполняют в следующей последовательности.

1. Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректированной системе и вычислить необходимый коэффициент K_ку корректирующего устройства. Построить диаграмму Боде нескорректированной системы.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3. Сдвигая ЛАЧХ влево, выбрать частоту среза скорректированной СУ ЭП , на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе.

4. Выбрать частоту излома (сопрягающую частоту) , соответствующую нулю корректирующего устройства, на декаду левее .

5. Определить, на сколько необходимо уменьшить усиление скорректированной СУ ЭП на частоте , чтобы ЛАЧХ скорректированной СУ ЭП на этой частоте имела единичный коэффициент усиления (уровень 0 дБ).

6. Вычислить параметр k, учитывая, что корректирующее устройство на частоте вносит ослабление -20lgk).

7. Частоту излома (сопрягающую частоту), соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее частоты среза . Найти частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устройства, .

8. Построить частотные характеристики скорректированной СУ ЭП, проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

Рассмотрим пример синтеза СУ ЭП с отставанием по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют передаточные функции (7.10), (7.11).

Будем полагать также, что к системе управления предъявляются те же требования, что и в предыдущем примере (относительная установившаяся динамическая ошибка - не более 5%, а запас по фазе - 45 ).

В соответствие с (5.8) и табл. 5.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости ( ), а частотная передаточная функция будет иметь вид (7.14). Диаграмма Боде нескорректированной СУ ЭП будет такой же, что и в рассмотренном выше примере. На рис. 7.8 ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной СУ ЭП представлены сплошными полужирными линиями.

Частота среза нескорректированной САУ , а значит в соответствие с (7.15) фазовый сдвиг . Запас по фазе составляет . Введем корректирующее устройство с передаточной функцией, обеспечивающего отставание по фазе.

Сначала определим частоту среза , обеспечивающую фазовый сдвиг ЛАЧХ , т. е. запас по фазе около . Частота среза скорректированной СУ ЭПУ, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, составит около 1,5 рад/с, а коэффициент усиления системы уменьшится на 20 дБ.

Учитывая, что корректирующее устройство на частоте вносит ослабление -20lgk, получим 20дБ = 20lgk, откуда определим параметр k корректирующего устройства: k=10. Тогда частоты излома скорректированной ЛАЧХ, соответствующие нулю и полюсу корректирующего устройства, , .

ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной СУ ЭП представлены на рис. 7.8 пунктирными кривыми, а ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирной линией.

Рис. 7.8. Диаграмма Боде СУ ЭП при коррекции

с отставанием по фазе

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

. (7.24)

Корректирующее устройство (7.20) реализуют на основе операционного усилителя (рис. 7.4) при T₂ > T₁.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректированной СУ ЭП имеет вид

. (7.25)

Фаза частотной передаточной функции, соответствующей (7.25), на частоте среза 1,5 рад/c

.

Тогда запас по фазе скорректированной СУ ЭП

, что отвечает исходным требованиям к CУ ЭП.

В отличие от СУ ЭП, имеющих коррекцию с опережением по фазе, полоса пропускания и, соответственно, быстродействие систем, имеющих коррекцию с отставанием по фазе, будет ниже, однако они менее подвержены влиянию внешних и внутренних шумов