4.4. Двигатель постоянного тока как объект управления

Электродвигатель постоянного тока (ДПТ) представляет собой объект управления, регулируемый, в общем случае, по цепям якоря и возбуждения [4]. Функциональная схема и схемы замещения электродвигателя приведены на рис. 4.2.

а ) б)

в)

г)

Рис. 4.2. Функциональная схема (а) и схемы замещения (б, в, г) электродвигателя постоянного тока

Применяя декомпозицию ДПТ, нетрудно заметить, что в его структуре имеются три основных подсистемы или цепи (см. рис. 4.2б, 4.2в, 4.2г):

- цепь якоря, питаемая регулируемым напряжением U_я; R_э, L_э – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность якорной обмотки; E_д – э.д.с. электродвигателя; i_я – ток якоря;

- цепь возбуждения, питаемая регулируемым напряжением U_в; R_в, L_в – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность обмотки возбуждения; i_в – ток возбуждения;

- электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование электромагнитной энергии в энергию вращения вала ротора; J_д – приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращаемого механизма; M, M_c – соответственно электромагнитный момент электродвигателя и момент сопротивления на его валу; - скорость вращения вала двигателя.

Приведем описание ДПТ в различных формах, что позволит при необходимости легко установить взаимосвязь математических моделей.

Для описания динамических моделей электрических цепей электродвигателя (см. рис. 4.2) воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи – 2-м законом Ньютона. Тогда получим систему дифференциальных уравнений:

,

, (4.23)

,

где , - электромагнитные постоянные времени соответственно обмотки якоря и обмотки возбуждения, , .

Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напряжения , по цепи якоря протекает ток , создающий электромагнитный момент, вращающий ротор,

, (4.24)

где - конструктивная постоянная двигателя.

Электромагнитные и механическая цепь также взаимосвязаны, т.к. ток, протекающий по обмотке возбуждения, создает магнитный поток Ф, пронизывающий обмотку якоря и наводящий в ней э.д.с. вращения,

, (4.25)

где - конструктивная постоянная двигателя, в системе СИ равная по величине .

Анализируя выражения (4.24), (4.25), заметим, что произведение переменных приводит к нелинейности математической модели электродвигателя, регулируемого одновременно по цепям якоря и возбуждения. Кроме того, при регулировании напряжения возбуждения двигателя проявляется нелинейный характер изменения потока Ф в функции тока возбуждения i_в (намагничивающей силы F = w_в i_в, где w_в­ – число витков обмотки возбуждения). Кривая намагничивания ДПТ соответствует нелинейному звену типа «насыщение» (рис. 4.3).

А

Рис. 4.3. Кривая насыщения магнитной цепи ДПТ

Рабочая точка А с координатами {F₀, Ф₀} на кривой насыщения соответствует некоторому, например номинальному режиму работы ДПТ.

ДПТ как нелинейный ОУ, регулируемый по цепям якоря и возбуждения, в соответствие с выражениями (4.23)…(4.25) и рис. 4.3 может быть представлен в виде структурной схемы (рис. 4.4)

Рис. 4.4. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепям якоря

и возбуждения, как нелинейного объекта управления

Пусть электродвигатель регулируется только по цепи якоря (напряжение возбуждения , а, следовательно, и ). Тогда математическая модель электродвигателя примет вид

, (4.26)

.

Математическая модель в виде (4.26) описывает ДПТ как линейный объект 2-го порядка.

Для перехода от дифференциальных уравнений (4.26) к операторным уравнениям произведем замену . Тогда получим

, (4.27)

.

По операторным уравнениям (4.27) составим структурную схему электродвигателя, приведенную на рис. 4.4.

Рис. 4.5. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря

Как видим, структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря, содержит 4 типовых линейных динамических звена: апериодическое, интегрирующее и 2 безынерционных звена, а также 2 суммирующих звена.

Пусть ДПТ регулируется одновременно по цепи якоря и возбуждения, причем изменения аддитивных (управляющих и возмущающих) воздействий незначительны или, по крайней мере, непрерывны. Тогда нелинейную модель ДПТ целесообразно линеаризовать в окрестности вектора рабочих траекторий и представить в виде линейной модели. В качестве рабочих траекторий примем уравнения M₀ = C_м Ф₀ i _я0, E_д = C_е Ф₀ ω₀, а все переменные ДПТ будем рассматривать в приращениях, т. е. в малой окрестности рабочих траекторий и обозначать через символ приращения ∆. Проведем также касательную линеаризацию кривой намагничивания, задавшись координатами {F₀, Ф₀} текущей рабочей точки и соответствующими приращениями (см. рис. 4.3).

Тогда математическую модель ДПТ можно представить системой уравнений в приращениях

,

(4.28)

,

,

где , - приращения координат э.д.с. двигателя и электромагнитного момента вдоль вектора рабочих траекторий;

- приращение магнитного потока;

- коэффициент линеаризации кривой насыщения магнитной цепи, являющийся функцией координат рабочей точки (см. рис. 4.3).

Структурная схема ДПТ, соответствующая уравнениям (4.28), приведена на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепям якоря

и возбуждения как линеаризованного объекта управления

Приведем векторно-матричное описание ДПТ как объекта регулирования по цепи якоря, т. е. будем полагать, что напряжение возбуждения , а магнитный поток .

Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде [4]

, (4.29)

где - векторы соответственно состояния, управления и возмущения САУ,

, ; ,

- символ транспонирования;

- стационарные матрицы соответственно состояния, управления и возмущения,

, ,

.

Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:

l; ; (4.30)

.

По уравнениям (4.29), (4.30) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:

; ; . (4.31)