Глава 2. Количественный анализ процессов сепарирования сыпучих смесей

2.1. Расчёт эффективности процесса разделения взвеси в вертикальном воздушном потоке*

В данном разделе, исходя из закона сохранения импульса, проводится количественный анализ кинематических характеристик взвешенного в восходящем воздушном потоке коллектива частиц из различающихся по механическим и геометрическим свойствам компонентов смеси, дается обоснование эффективности процесса разделения смеси частиц с различающимися показателями аэродинамического сопротивления в вертикальном пневмосепарирующем канале.

Значительная часть современных технологических процессов в перерабатывающих производствах АПК, а также других отраслях промышленности связана с изготовлением, разделением и применением измельченных и порошкообразных материалов. Удаление твердых частиц небольшого диаметра осуществляют с помощью таких физических операций как гравитационное осаждение, центрифугирование, инерционный или прямой захват, броуновская или вихревая диффузия, термическое, электростатическое или магнитное осаждение, турбулентное разделение и др. При проведении данных процессов встают проблемы разделения компонентов обрабатываемых смесей, эвакуации посторонних примесей, нейтрализации вредных выбросов в атмосферу продуктов переработки и др., для чего, в частности, используют такие машины и аппараты как сепараторы, циклоны, фильтры и т.п. [26]- [33]. Причем, очевидно, что создание прогрессивного оборудования для обработки фаз смеси невозможно без обоснования рациональных режимных, геометрических и механических параметров данного процесса.

^ Рассмотрено совместно с Веденьевым В.Ф., и Чернышёвым Д.Ю.

Следует отметить, что если в области технологии измельчения и

сепарирования материалов, очистки газов и др. отмечаются значительные достижения, то в области развития теории данных процессов успехов меньше. Так, например, если задача о кинетике взвеси в восходящем воздушном потоке и считается наименее сложной среди подобных задач, она сравнительно мало изучена как в теоретическом, так и в экспериментальном отношениях. В то же время данная задача представляет значительный интерес для технических приложений. Опытным путем выявлены особенности распределения профилей скоростей потока воздуха в вертикальном канале (рис. 2.1.1), изучено влияние концентрации и размеров частиц на потерю напора давления в потоке, зависимость отношения коэффициентов трения при наличии частиц и в чистом газе от отношения расходов фаз и др. [28]. В работах [32], [33] на основе закона сохранения импульса анализируются особенности кинематики изолированной частицы в пневмосепарирующем канале, как результат соударения частиц изучено влияние концентрации на граничный (критический) размер частицы в гравитационном классификаторе. К недостаткам теоретических исследований в области кинетики частиц, взвешенных в восходящем воздушном потоке, следует отнести отсутствие удобных для успешного прогнозирования процесса аналитических зависимостей, связывающих исходный дисперсионный состав взвеси с кинематическими и геометрическими параметрами процесса.

В связи с этим разработка обоснованной теоретической базы, отражающей основные физико-механические и геометрические особенности процесса сепарирования взвеси в восходящем воздушного потоке, является актуальной.

Ниже, на основе закона сохранения импульса исследуется кинематика изолированной частицы, взвешенной в восходящем воздушном потоке. Затем, на базе информационного подхода дается обоснование закона распределения гранулометрического состава взвеси по скоростям витания коллектива частиц. После чего, исходя из рассчитанного значения критической скорости витания частицы, и полученного закона распределения дисперсии взвеси, на основе интегральных показателей проводится количественный анализ эффективности процесса разделения смеси в пневмосепарирующем канале.

АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ ЧАСТИЦЫ

Поскольку исследуемый процесс сепарирования смеси осложнен многими факторами, то количественное моделирование данного процесса может быть осуществлено лишь при определенной схематизации рассматриваемого явления.

В качестве упрощающих предположений, полагаемых в основу схемы процесса сепарирования смеси в потоке воздуха, будем использовать допущения, не сильно искажающие реальную картину протекания исследуемого явления. А именно, будем считать, что объёмная концентрация частиц в потоке воздуха невелика и поэтому кинематику частицы можно полагать не зависящей от движения коллектива соседних частиц. В результате, учитывая, что объёмная концентрация частиц в воздушном потоке в реальных условиях [26] не превышает одного процента (т.е. имеется малоконцентрированная смесь “газ-твёрдое”), при описании движения частицы вместе с коллективом соседних может быть использована бесстолкновительная модель кинетики процесса.

Кроме того, предполагаем, что основной поток (поток воздуха) одномерный, а распределение скорости воздуха по поперечному сечению потока незначительно отличается от расходной скорости его. Данное допущение подтверждается опытными измерениями скорости потока воздуха, ограниченного параллельными стенками [31]. В результате, если считать воздушный поток равномерным, инерционным, то при анализе относительного движения частицы, т.е. её перемещения по отношению к системе отсчёта, связанной с потоком, будет выполняться принцип относительности классической механики: действующие на частицу силы в подвижной системе координат будут такими же, как и в абсолютной системе отсчёта.

При обосновании силового воздействия потока воздуха на частицу (т.е. при решении внешней задачи аэродинамики), полагаем, что действующие на частицу силовые факторы выбираются такими же, какими они были бы при решении внутренней задачи аэродинамики однородного потока газа в том месте, где находится частица. При этом учитываем, что на изолированную частицу весом G, введенную каким-либо образом в невозмущенный поток, и движущуюся со скоростью V, со стороны окружающей среды гипотетически действуют: сила сопротивления среды F_с, сила давления Р, подъемная сила Магнуса-Жуковского F_Ж, реактивная сила Мещерского F_М, сила трения Бассе F_Б и др. (рис. 2.1.1)

Рис. 2.1.1.

Схема траекторий взвешенных в восходящем воздушного потоке частиц целевого продукта и аэроотделимых примесей в вертикальном пневмосепарирующем канале

Принимая во внимание, что в процессе сепарирования смеси размеры разделяемых частиц имеют величину порядка нескольких миллиметров, при скорости потока воздуха порядка нескольких метров в секунду, в реальных условиях кинетика частиц в рабочем объеме воздушного сепаратора протекает при немалом значении числа Рейнольдса. Поэтому в качестве силы сопротивления F_с движению частицы со стороны потока воздуха может быть принят квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке, т.е. по скорости витания.

Учитывая, что присоединённая масса m_п частицы и сила давления Р пропорциональны объёму частицы и плотности _в воздуха - величине, малой по сравнению с плотностью _т частицы, сила Магнуса-Жуковского F_Ж  0, так как принято U  const, сила Мещерского F_М  0, поскольку потеря массы частицы за счёт испарение влаги с её поверхности практически отсутствует, и, кроме того, сила Бассе F_Б для газов обычно невелика, среди действующих на частицу сил сохраняем лишь одинаковые по порядку величины - вес G и силу сопротивления F_с (рис. 2.1.2). В результате чего, согласно основному закону динамики для точки [27], приближенно записывают [32]

mdV/dt = G + F_с, (2.1.1)

где m – масса частицы, кг; t – время, с; G = {0, -mg} - вектор силы тяжести, F_c = -k₁V_отнV_отн, - вектор силы сопротивления воздуха, Н; g - ускорение свободного падения, м/с²; k₁ = 0,5_вс_уS – коэффициент пропорциональности, _в – плотность воздуха, кг/м³; с_у - аэродинамический коэффициент сопротивления; S – площадь проекции частицы на плоскость, нормальную направлению ее движения, м²; V = {V_x, V_y} - вектор скорости частицы, V_отн = v = V – U, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, V_отн – вектор местной скорости частицы, м/с.

Выбирая при исследовании поставленной задачи оси координат естественным путем (рис. 2.1.1), направляем ось у вверх, против силы тяжести, а ось х перпендикулярно оси у.

Рис. 2.1.2.

Схема сил, действующих на частицу в потоке воздуха

В таком случае, проецируя векторное уравнение (2.1.1) по осям х и у, получают

mdV_x/dt = -k₁V_xv , (2.1.2)

mdV_y/dt =-mg – k₁(V_y - U) v . (2.1.3)

Имея в виду, что v = [V_x² + (V_y - U)²]^1/2, согласно уравнениям (2.1.2), (2.1.3) имеют

dV_x/dt = -kV_x[V_x² + (V_y - U)²]^1/2, (2.1.4)

dV_y/dt =-g – k(V_y - U) [V_x² + (V_y - U)²]^1/2. (2.1.5)

где k = k₁/m.

Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1.4), (2.1.5) согласуют с начальным условием (рис. 2.1.1)

V_x = V₀Cos, V_y = V₀Sin при t = 0. (2.1.6)

Поскольку система уравнений (2.1.4), (2.1.5) является нелинейной относительно искомых проекций скорости V_х и V_у, то ее решение может быть найдено лишь численным методом.

Для того чтобы получить зависимости, позволяющие прогнозировать результаты сепарирования смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, необходимо располагать аналитическим, пусть даже упрощенным, решением задачи (2.1.4) - (2.1.6) по проекциям скорости частицы и ее координатам. С помощью численного моделирования (в критериальной форме) задачи Коши (2.1.4) - (2.1.6), на базе стандартных процедур, в области реальных значений параметров процесса было выявлено, что обычно выполняется неравенство V_x² < (V_y - U)². Поэтому, имея в виду, что U - V_у > 0, вместо уравнений (2.1.4), (2.1.5) приближенно имеют

dV_x/dt = -kV_xV_y - U, (2.1.7)

dV_y/dt =-g – k(V_y - U) V_y - U. (2.1.8)

Вводя скорость v витания частицы, и учитывая, что V_x > 0, системе уравнений (2.1.7), (2.1.8) придают форму

dV_x/dt = kV_xv, (2.1.9)

dv/dt =-g + kv². (2.1.10)

При этом начальные условия (2.1.6) по проекциям скорости частицы принимают вид

V_x = V_x0 = V₀Cos, v = v₀ при t = 0, (2.1.11)

где v₀ = V₀Sin - U.

Общим интегралом уравнения (2.1.10) является

ln[(b - v)/(b + v)]/a = t + lnC₂/a, (2.1.12)

где С₂ = const, и для сокращения преобразований введены обозначения а = 2(gk)^1/2, b = (g/k)^1/2.

Исходя из (2.1.11), (2.1.12) находят

v = b(c - e^at)/(c + e^at), (2.1.13)

где обозначено с = (b + v₀)/(b - v₀).

И поэтому, в соответствии с (2.1.13)

V_y = U + v = U + b(c - e^at)/(c + e^at). (2.1.14)

Подставляя (2.1.14) в уравнение (2.1.9), имеют

dV_x/dt = kV_xb(c - e^at)/(c + e^at),

откуда, имея в виду связь kb = a/2, находят общий интеграл

V_x = С₁[e^at/2/(c + e^at)], (2.1.15)

где С₁ = const.

Согласуя (2.1.15) с (2.1.11), получают частное решение уравнения (2.1.9)

V_x = V_x0(с + 1)e^at/2/(c + e^at). (2.1.16)

Поскольку V_x = dx/dt, V_у = dу/dt, на основе (2.1.14), (2.1.16) могут быть найдены зависимости декартовых координат частицы от времени, удовлетворяющие начальным условиям

х = 0, у = 0 при t = 0. (2.1.17)

В результате, интегрируя (2.1.14), (2.1.16), с учетом (2.1.17), имеют

х = 2V_x0(с + 1)/(ac^1/2)[arctg(e^at/2/c^1/2) - arctg(1/c^1/2)], (2.1.18)

y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1)e^at/2/(c + e^at)]. (2.1.19)

С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (2.1.18)

t = 2ln[c^1/2tg( + х)]/a, (2.1.20)

где для сокращения записи приняты обозначения

 = arctgc^-1/2,  = ac^1/2/[2V_x0(с + 1)].

Поэтому, согласно (2.1.20)

e^at/2 = с^1/2tg, c + e^at = с(1 + tg²), (2.1.21)

где временно введено обозначение  = х + .

В результате чего в соответствии с (2.1.19), (2.1.21) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:

y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1) e^at/2/(c + e^at)] =

= U(2/a)ln[c^1/2tg(х + )] + (2b/a)ln{0.5(с + 1)c^-1/2sin[2(х + )]}. (2.1.22)

Таким образом, в рамках принятых допущений решение задачи (2.1.6) - (2.1.8), в виде зависимостей (2.1.14), (2.1.16), (2.1.18), (2.1.19), (2.1.22) по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала.

Так, если L - ширина канала, то на основе формулы (2.1.20) определяется время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время осаждения частицы на вертикальной стенке):

T = ln[tg²( + L)c]/a. (2.1.23)

Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения лёгких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят по поведению траектории ОАВ (рис. 2.1.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и критическим диаметром d_к частицы. При этом критический диаметр d_к частицы является корнем уравнения траектории, проходящей через точку В(L, 0), координаты которой удовлетворяют (2.1.22):

Рис. 2.1.3.

Схема траектории частицы критического диаметра d_к

Uln[c^1/2tg(L + )] + bln{(c + 1)sin[2(L + )]/(2c^1/2)] = 0, (2.1.24)

где d_к входит в уравнение (2.1.24) через параметры

а = 2(gk)^1/2, b = (g/k)^1/2, 2b/a = 1/k, c = (b + w₀)/(b - w₀),

 = ac^1/2/[2V_x0(с + 1)], k = 0.75с_у(_в/_ч)/d_к.

Учитывая, что уравнение (2.1.24) зависит от d_к неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по d_к. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATCHAD [34], выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (2.1.24), проводили в символьном виде.

При этом согласно определению понятия критического диаметра d_к частицы, размером больше d_к, отводятся вниз, а размером меньшим d_к - уходят с потоком воздуха в зону осаждения лёгких частиц. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания v_к частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения лёгких частиц.

С целью сопоставить результатов расчетов по количественному моделированию кинетики смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале будем предполагать, что все частицы смеси имеют сферическую форму диаметром d, причем, аэроотделимые примеси характеризуются значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_уl = 1.2 (условно - легкий компонент смеси), а целевого продукта - значением с_уs = 0.8 (условно - тяжелый компонент смеси). Что близко к имеющим место данным величинам в практических условиях [26].

И пусть плотность частицы смеси _п = 1200 кг/м³; плотность воздуха _в = 1.3 кг/м³; масса частицы m = 310^-5 кг; скорость потока воздуха U = 6 м/с; скорость подачи смеси V₀ = 0.5 м/с; угол подачи смеси  = - 45.

(а)

1

2

4

3

(б)

1

2

4

3

Рис. 2.1.4.

Траектории частиц (_п = 1200; _в = 1.3 кг/м³; L = 0.14 м; U = 6 м/с; V₀ = 0.5 м/с;  = -40): (а) - целевого продукта (с_s = 0.8) - 1 - d = 110^-3 м; 2 - d = 210^-3 м; 3 - d = 310^-3 м; 4 - d = d_к = 1.7010^-3 м); (б) - аэроотделимой примеси (с_l = 1.2) - 1 - d = 110^-3 м; 2 - d = 210^-3 м; 3 - d = 310^-3 м; 4 - d = d_к = 2.56 10^-3 м)

Из анализа графиков на рис. 2.1.4 (кривая 1) видно, что тяжелые частицы крупностью d = 110^-3 м уходят в зону осаждения лёгких частиц, а более крупные размером - d = 210^-3 м и d = 310^-3 м (кривые 2,3) - опускаются, и в дальнейшем отводятся из рабочего объема. В свою очередь, легкие частицы крупностью d = 110^-3 м и d = 210^-3 м отводятся в зону осаждения лёгких частиц, а размером - d = 310^-3 м – опускаются. Как видно из анализа кривых 4 на рис. 2.1.4 а, б, соответствующих траекториям тяжелых и легких частиц критическими диаметрами d = d_к, частицы этих размеров для обеих фаз смеси практически находятся во взвешенном состоянии.

Помимо этого по данным расчетов можно заключить, что частицы тяжелого компонента смеси в горизонтальном направлении движутся быстрее, а в вертикальном направлении - медленнее, чем частицы аэроотделимой примеси. Эта особенность перемещения частиц обусловлена большей “парусностью” частиц с большим значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_у у аэроотделимой примеси.

Подробный количественный анализ на базе формул (2.1.14), (2.1.16), (2.1.18), (2.1.19) выявляет заметную зависимость результатов расчетов траекторий частиц от величин скоростей U и V₀.

Исходя из формул (2.1.14) и (2.1.20), значение вертикальной составляющей V_у(Т) скорости частицы в момент достижения ею стенки канала, имеет вид

V_у(Т) = U + w = U + b(c - e^at)/(c + e^at)_t=T =

= U + bcos{2[arctg(c^-1/2) + L)]}. (2.1.25)

На основе рассчитанного по (2.1.24) значения d_к, а также формул (2.1.20), (2.1.23) находят выражение скорости V_В для частицы в точке В:

V_В = (V_Вх² + V_Ву²)^1/2  V_Ву, (2.1.26)

где проекции V_Вх, d_к по осям координат вектора скорости V_В вычисляются по формулам (2.1.14), (2.1.16) при х = L.

Отметим, что рассмотренный выше способ количественного анализа процесса пневмосепарирования может быть эффективно использован и при исследовании, например, кинетики классификации многофазной смеси в восходящем потоке воздуха, когда по условиям проведения технологического процесса рабочий объем пневмосепаратора разделен на ряд вертикальных каналов.

ОБОСНОВАНИЕ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО СОСТАВА ВЗВЕСИ

Если обрабатываемая сыпучая смесь полидисперсна, то обоснованный количественный анализ эффективности процесса сепарирования взвеси может быть проведен лишь на базе достоверных данных по ее составу. При этом, например, такая зависимость как функция распределения частиц по какому-либо показателю содержит исчерпывающую информацию о гранулометрическом составе смеси. Причем, аргументом данной функции может выступать как размер частиц, так и связанные с размером и более удобные для конкретного анализа величины: масса частиц, время осаждения их и др. При исследовании проблемы пневмосепарирования сыпучей смеси в качестве такого аргумента (для частиц определенной фазы смеси – целевого продукта или посторонних примесей) выбирают скорость ее витания.

Исходя из того, что реальная кинематическая ситуация в целом по скоростям частиц в потоке воздуха во многом отличается неясностью, при большом числе трудно учитываемых факторов, определение дисперсионного состава частиц по скоростям их витания в данном потоке проводили на основе информационного подхода [35] - [37].

Данный подход к решению проблемы определения дисперсности частиц дает возможность на основе известных статистических моментов различных порядков таких, например, как медианное значение скорости витания, ее стандартное отклонение, получить выражение плотности и функции распределения частиц по эти моментам.

С целью исследовать дисперсию состава коллектива частиц рассматривают элементарный объем, в котором находится достаточное количество частиц смеси, в дополнительном предположении, что движение как потока воздуха, так и взвешенных в нем частиц является одномерным. Тогда вероятность того, что в элементарном объеме имеются частицы, движущиеся со скоростями витания (v, v + dv), равна р(v)dv, где v - скорость витания.

И пусть на основе статистических измерений найдено медианное значение скорости витания v^* = v₅₀ как условной скорости, при которой скорость витания всех частиц, движущихся медленнее или быстрее v^*, составляет 50%, а также стандартное отклонение s, являющееся средним квадратическим отклонением скорости витания v от v^*.

Для упрощения количественного моделирования задачи по определению дисперсионного состава взвеси, при нахождении плотности р(v) и функции Ф(v) распределения частиц по скорости витания, вместо скорости v временно рассматривали скорость w = v - v^*. В результате чего медианным значением для скорости w станет w^ = 0.

В таком случае, в предположении, что в исследуемой смеси содержатся частицы со всевозможными вертикальными скоростями витания, имеют очевидные равенства:

• по нормированию вероятности

p(w)dw = 1, (2.1.27)

- по математическому ожиданию

wp(w)dw = 0, (2.1.28)

- по среднему квадратическому отклонению

w²p(w)dw = s². (2.1.29)

Если всю недостающую информацию о распределении частиц по скорости витания находить как наиболее вероятную, то для определения плотности вероятности р(w), удовлетворяющей соотношениям (2.1.27) - (2.1.29), может быть использован принцип максимальной информационной энтропии [35].

Если в качестве информационной энтропии, с помощью которой оценивается неопределенность распределения частиц по скоростям витания принимается

Н(р) =- p(w)ln[p(w)]dw, (2.1.30)

то, отправляясь от принципа максимальной информационной энтропии, для определения p(w) необходимо максимизировать функционал (2.1.30) при ограничениях (2.1.27) - (2.1.29).

Поставленную таким образом задачу на условный экстремум решают, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, что приводит к плотности распределения числа частиц по скорости витания в виде зависимости

p(w)= ехр(-²w² - ). (2.1.31)

Подставляя найденное в соответствии с (2.1.31) выражение p(w) в уравнения (2.1.27), (2.1.29) для множителей Лагранжа l и m и решая её, по аналогии с п. 1 главы 1 имеют

p(w)= ехр[-w²/(2s²)]/[s(2p)^1/2],

или, возвращаясь к скорости v витания

р(v) = ехр[-(v - v^)²/(2s²)]/[s(2p)^1/2], (2.1.32)

т.е. приходим к нормальному закону распределения плотности вероятности [38].

В таком случае на основе (2.1.32) получим функцию распределения

Ф(v) = {1/[s(2p)^1/2]} ехр[-(v - v^)²/(2s²)]dv. (2.1.33)

Найденное по (2.1.33) выражение функции распределения числа частиц по скорости витания при известных медианной скорости витания v^* и ее стандартном отклонении s является двухпараметрическим (по параметрам v^, ) законом нормального распределения.

На рис. 2.1.5 приведены графики функций распределения (2.1.33) Ф_s(v) и Ф_l(v) по скорости витания для частиц тяжелой и легкой фракций, имеющие типичный для данных функций S-образный вид.

1

2

Рис. 2.1.5.

Функции распределения Ф_s(v) и Ф_l(v) по скорости витания частиц при заданных медианной скорости витания v^* и среднем квадратическом отклонении : 1 - тяжелые частицы, v^_s = - 6.5 м/с, ^_s = 0.5 м/с; 2 - легкие частицы, v^_l = - 5.5 м/с, ^_l = 0.5 м/с)

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ СМЕСИ В ПНЕВМОСЕПАРИРУЮЩЕМ КАНАЛЕ

Проблему разделения взвеси в воздушном потоке проанализируем на примере процесса седиментации смеси в рабочем объеме (канале) воздушного сепаратора. При этом эффективность пневмосепарирования смеси будем оценивать по двум показателям:

- коэффициенту  выделения аэроотделимой взвеси - как удельного содержания (по количеству) N_l выделенных воздушным потоком в зону осаждения лёгких частиц (примесей), в общем количестве N_l0 содержащихся в исходной взвеси примесей (коэффициент уноса примесей), т.е.

 = N_l/N_l0, (2.1.34)

- коэффициенту  - удельного содержания (по количеству) N_s целевого продукта в зоне осаждения лёгких частиц в общем количестве их N_s0 в исходной взвеси (коэффициент уноса целевого продукта), т.е.

 = N_s/N_s0. (2.1.35)

Очевидно при этом, что удельное содержание примесей (коэффициент осаждения примесей), оседающих вниз, в зону очищенного продукта, в общем количестве их в исходной взвеси, составит  = 1- , а удельное содержание целевого продукта, оседающего в зону очищенного продукта, к общему количеству их в исходной взвеси (коэффициент осаждения целевого продукта) -  = 1- .

Предполагают, что эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания частицы v. И пусть функции распределения Ф_s(v) и Ф_l(v) частиц типа “тяжелые” и “легкие” заданы по скорости витания v частиц. В таком случае, если медианная скорость v^* витания и ее среднее квадратическое отклонении  заданы, то это означает, что относительное содержание частиц, перемещающихся со скоростями витания меньше заданной v, составляет в смеси, соответственно, Ф_s(v) и Ф_l(v). В дальнейшем, в целях удобства анализа, наряду с интегральной функцией Лапласа Ф, рассматривают так называемую характеристическую функцию F, связанную с Ф зависимостью F = 1 – Ф.

Тогда, согласно определению характеристической функции, вследствие формулы (2.1.34) коэффициент уноса примесей примет вид

 = F_l(V_Вк), (2.1.36)

а коэффициент осаждения целевого продукта в соответствии с определением функции распределения и формулой (2.1.35)

 = 1-  = Ф_s(V_Вк). (2.1.37)

Для упрощения анализа результатов расчетов по количественному моделированию кинетики взвеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, как и ранее, предполагают, что все частицы смеси имеют сферическую форму, с аэродинамическими коэффициентами, соответственно, по целевому продукту с_уs = 0.8, по аэроотделимой примеси - с_уl = 1.2, при прежних значениях геометрических и физико-механических параметров процесса: L = 0.14 м, _п = 1200 кг/м³, _в = 1.3 кг/м³, U = 6 м/с, V₀ = 0.5 м/с,  = - 45.

И пусть значение критической скорости рассчитывается по (2.1.26). Для корня характеристического уравнения (2.1.24), определяемого с помощью стандартной процедуры “ROOT” операционной среды MATCHAD [34], получают значение критического диаметра для тяжелых частиц - d_кs = 1.70 мм, для легких d_кl = 2.22 мм.

Зависимости проекций скорости V_x, V_y от времени t для частиц критических диаметров тяжелого и легкого компонентов смеси приведены на рис. 2.1.6. Анализ графиков на рис. 2.1.6 показывает, что, как и следовало ожидать, по обеим фазам смеси проекции скорости V_x убывают по времени, а проекции скорости V_у, наоборот, растут. При этом отмечается общее выравнивание скоростей по нулевому значению скорости, более быстрое, из-за большей “парусности” частиц с большим значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_у, у аэроотделимой примеси. То есть, с течением времени имеет место релаксация по скоростям частиц критических размеров для обеих фаз смеси.

Если согласно формулам (2.1.16), (2.1.25) в качестве проекций скорости частицы выбирать их средние по периоду осаждения Т значения

v¯ = V_В = v(t)dt/T,

то значения скоростей тяжелых частиц диаметром d_кs = 1.70 мм и легких частиц диаметром d_кl = 2.56 мм составляют: V_Вs  V_Вl = - 0.06 м/с. В таком случае при расходной скорости потока воздуха U = 6 м/с скорости витания целевого продукта и аэроотделимой примеси для частиц того же размера составляют: V_Вs  V_Вl = -6.06 м/с.

Для количественной оценки результатов проведенного анализа, ориентировочно, в качестве медианного размера и среднего квадратического отклонения скорости витания по тяжелым и легким частицам, соответственно, принимают: v^_s = - 7, v^_l = - 5; ^_s = 0.5, ^_l = 0.5, м/с.

(а)

2

1

(б)

1

2

Рис. 2.1.6. Зависимости проекций скорости V_x, V_y частиц критическим диаметром от времени t, с (_п = 1200; _в = 1.3 кг/м³; L = 0.14 м; U = 6 м/с; V₀ = 0.5 м/с;  = -40; 1 - v_x(t,d); 2 - v_y(t,d): (а) - целевого продукта (с_s = 0.8, d_кs = 1.7010^-3 м); (б) - аэроотделимой примеси (с_l = 1.2; d_кl = 2.5610^-3 м)

Тогда согласно формулам (2.1.36), (2.1.37)

 = F_l(V_Вк) = F_l(-6.06) = 0.983;  = Ф_s(V_Вк) = Ф_s(-6.06) = 0.970.

Иначе говоря, в соответствии с расчетом, относительное количество аэроотделимой примеси в зоне осаждения лёгких частиц составляет примерно 98 %, оседающего целевого продукта – 97 %. Очевидно, что полученные сравнительно высокие значения этих коэффициентов обусловлены тем, что расходная скорость потока воздуха U = 6 м/с по величине близка к принятым медианным значениям скорости витания по частицам обеих фаз смеси.

В практических условиях качество проведения процесса аэросепарирования в некоторых случаях оценивают по относительному содержанию (в процентах) целевого продукта в зоне осаждения лёгких частиц. В соответствии со смыслом характеристической функции коэффициент z, выражающий удельное содержание целевого продукта в зоне осаждения лёгких частиц в целом (условно - коэффициент уноса целевого продукта) вычисляется по соотношению

(2.1.38)

где V_B = V_Вк; N_s0, N_l0, – соответственно, количество “тяжелых” и “легких” частиц в исходном (контрольном) объеме смеси,  = N_l0/N_s0.

Полагая для простоты  = 1, согласно (2.1.38), для рассматриваемого примера будем иметь

Проведенный количественный анализ эффективности процесса аэросепарирования сыпучей смеси получен в предположении, что все частицы подаются в канал из одной точки – начала координат О (рис. 2,1.1).

Если питающий канал имеет конечную высоту h, то эффективность процесса сепарирования проводят исходя из понятия текущего критического диаметра частицы d_к(у) (где 0  у  h), когда частица критическим диаметром d_к(у) перемещается по траектории АВ (рис. 2.1.7). Причем, критический диаметр d_к частицы, связанный со скоростью витания, является корнем уравнения траектории, проходящей через точки А(0, у) и В(L, 0). Согласно уравнениям (2.1.22), (2.1.24) это:

Uln[c^1/2tg(L + )] + bln{(c + 1)sin[2(L + )]/(2c^1/2)] = ay/2. (2.1.39)

В таком случае в соответствии с определением функции распределения можно показать [27], [36], что коэффициент осаждения, например, для тяжелых частиц, как отношение количества оседающих тяжелых частиц к их количеству в исходной смеси (если пренебречь различием скоростей частиц на входе в канал), выражается в виде

Рис. 2.1.7.

Схема траектории частицы текущего критического диаметра d_к(у)

 = Ф_s[d_к(у)]dy, (2.1.40)

где d_к - корень характеристического уравнения (2.1.39), Ф_s - функция распределения тяжелых частиц по скорости витания.

При значениях параметров процесса L = 0.14 м, h = 0.03 м; _п = 1200 кг/м³; _в = 1.3 кг/м³; U = 6 м/с; V₀ = 0.5 м/с;  = - 45, рассчитанные для различных величин средних значений v^_s скорости витания по тяжелым частицам коэффициенты осаждения  сведены в таблицу.

Таблица. Зависимость коэффициентов осаждения  от средней величины скорости v^_s витания по тяжелым частицам (при среднем квадратическом отклонении _s = 0.5 м/с)

vs, м/с,	-6	-6.5	-7	-7.5
, %	50.0	79.1	89.6	91.0

Как видно из таблицы, и в соответствии с физическим смыслом задачи, увеличение (по абсолютному значению) средней скорости v^_s витания частиц, т.е. при увеличении в целом в смеси крупных частиц, естественно, отмечается и рост коэффициента осаждения .

Для того чтобы обосновать расчёт мощности машины определяют потерю мощности потока воздуха за счёт результирующего воздействия на него коллектива частиц.

Пусть на отнесённую к единице массы частицу действует сила R такая, что:

R = G + F_c,

где R = {R_x, R_y}.

Тогда учитывая, что V_y = U + v = U – w, w = U - V_y > 0, согласно (2.1.26), (2.1.27) проекции вектора R по осям х и у примут вид:

(2.1.41) (2.1.42)

Мощность N силы R, приложенной к данной частице, в соответствии с (2.1.41), (2.1.42) выражается в виде

N = RV = R_xV_x + R_yV_y =

= Вт/кг. (2.1.43)

Принимая во внимание, что в зерновой смеси содержание частиц массой (m, m + dm) составляет dФ = Ф(w)dw = p(w)dw (где p(w) – плотность распределения частиц по скорости витания), отнесённая к данной массе мощность равна

dN =

Откуда, интегрируя по скорости витания имеют

(2.1.44)

Принимая во внимание, что в реальных условиях выполняется неравенство V_x< V_y, в соответствии с (2.1.43) формулу (2.1.44) можно заменить на приближенную

(2.1.45)

Поскольку содержание аэроотделимых примесей, характеризуемого коэффициентом , в исходной зерносмеси, обычно, невелико, расчёт по формуле (2.1.45) мощности N проводят лишь по частицам целевого продукта (т.е. для тяжёлых частиц).

На рис. 1.8 приведены графики зависимости значения проекции скорости V_y в начале (t = 0) и конце (t = Т) процесса осаждения для частиц, массы которых в реальных условиях изменяются в интервале 110^-5 кг < m < 410^-5 кг. Из анализа данных графиков вытекает, что можно принять w_min = 0.35 м/с, w_mах = 1.8 м/с, и поэтому соответствующие значения пределов интегрирования в формуле (2.1.45) по скорости витания выбирали: w_min = 6 + 0.35 = 6.35 м/с, w_mах = 6 + 1.8 = 7.8 м/с.

В результате для аэродинамического коэффициента сопротивления с_уs = 0.8, на базе данных значений w_min и w_mах, согласно формуле (2.1.45) получили N = 79.8 Вт/кг. Таким образом, необходимая полезная мощность для

Рис. 2.1.8.

Зависимости значения проекции скорости v_y тяжёлых частиц в начале (t = 0) и конце (t = Т) процесса осаждения, от массы m частиц

поддержания 1 кг зерна во взвешенном состоянии в соответствии с расчётом составляет сравнительно небольшую величину.

Помимо рассчитанной потери мощности потока воздуха в результате переноса продукта, очевидно, следует учитывать и потери мощности от трения частиц о воздух и потери от трения воздуха о стенки сепарирующего канала и др.

Более детальный количественный анализ проблемы сепарирования смеси в потоке воздуха выявляет cущественную зависимость расчетной эффективности проводимого процесса от его параметров: скорости потока воздуха U, исходного гранулометрического состава Ф и др.

Таким образом,

- эффективность работы пневмосепаратора следует определять отправляясь от величины диаметра гипотетической частицы, перемещающейся по заданной траектории в воздушном канале, т.е. на базе значения критического диаметра частицы;

- исходя из информационного подхода, для взвешенных в потоке воздуха частиц, на основе заданных значений статистических моментов таких как медианное значение скорости витания частицы, стандартное отклонение скорости витания и др. может быть найден дисперсионный состав частиц по скорости их витания;

- на базе заданных физико-механических и геометрических параметров процесса сепарирования и полученной функции распределения обосновывается расчет эффективности процесса разделения смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале по интегральным показателям – коэффициентам уноса и осаждения.