4. Анализ кинетики зерносмеси в самотечном трубопроводе

Цель исследования настоящего раздела - расчет напряженного состояния в потоке зерна, движущегося в гравитационном поле по наклонному каналу.

При исследовании поставленной проблемы будем, как часто поступают, отдельно решать внешнюю и внутреннюю задачи гидродинамики [21], а именно по­лагать, что действующие на частицу силовые факторы выбираются такими же, какими они были бы при решении внутренней задачи гидродинамики жидкос­ти в том месте, где находится частица. В дальнейшем, решая внешнюю задачу гидродинамики, учитывают, что на изолированную частицу со стороны потока действуют силы гидроди­намического давления.

Внутренняя задача гид­родинамики

В целях упрощения по­ставленной задачи поток зерносмеси считают сло­истым и двумерным, пре­небрегая действием на него боковых стенок лотка (рис.1.5.1).

Кроме того, при анализе кинетики движения слоя зерносмеси как сыпучего материала следует учитывать вязкость (условную) потока как величину, характеризующую коэффициент сопротивления сдвигу слоев (коэффи­циент трения) и являющуюся непрерывной функцией массы вышележащей части сыпучего тела [22].

Рис. 1.5.1. Схема к расчету кинетики потока зерна в наклонном канале

Данное положение обосновано В.В.Гортинским и др. тем, что частицы зерносмеси, расположенные в верхнем слое сыпучего тела, отличаются большей по­движностью по сравнению с частицами внутри сыпучего тела и особенно с частицами нижнего слоя. Это объясняют увеличением числа связей между части­цами по мере удаления их от свободной поверхности при теоретическом анализе проблемы послойного движения слоев. При анализе кинетики потока зер­носмеси этот фактор учитывают путем увеличения коэффициента трения нижележащих слоев. Так, для зерновых продуктов примерная зависимость коэф­фициента трения является линейной функцией пе­ременной :

f = f₁(1 + j), (1.5.1)

где j = G/G_m; G, G_m - соответственно давление выше­лежащей части и всего слоя;  = (f₀ - f₁)/ f₁; f, f₀, f₁ - соответственно текущий, максимальный (для нижнего) и минимальный (для верхне­го слоя) коэффици­енты сопротивления сдвигу [22].

Если в качестве исходной реологической модели задачи выбрать (условно) модель вязкой несжимаемой жидкости, то по аналогии с (1.5.1) для коэффициен­та кинематической вязкости можно приближенно полагать:

(у) = ₁[1 + (h - y)/h], (1.5.2)

где  = (₀ - ₁)/₁; ₀, ₁ - соответственно значения коэффициента вязкости на нижнем и верхнем слоях потока смеси.

Таким образом, согласно принятой реологической модели, выражение касательного напряжения в по­токе имеет вид

_ху = (у)du/dy, (1.5.3)

где и = v_х — проекция скорости частицы на ось х, (у) = (у) - коэффициент дина­мической вязкости,  – плотность продукта (приве­денная, с учетом порозности смеси), (у) рассчитывается по (1.5.2).

В соответствии с выбранной моделью потока как течения вязкой несжимаемой жидкости диффе­ренциальные уравнения движения слоя продук­та, отнесенные к единице массы смеси, запишем в форме [23]:

где t - время, v = v_y - проекция скорости частицы на ось у; р - давление;  - угол накло­на самотека,  - оператор Лапласа.

Вводя так называемое динамическое давление:

Ф = р/ - g(хsin -усоs); (1.5.6)

уравнениям (1.5.4), (1.5.5) можно придать форму:

Предполагая иоле скоростей течения одномер­ным, т.е., считая, что v_y = v = 0 (поток слоистый), из уравнения (1.5.5) будем иметь

откуда, получим

Ф = Ф(х), (1.5.9)

т.е. в рамках принятых допущений динамическое давление не меняется по высоте слоя. Кроме того, переписывая уравнение (1.5.7) в виде

(1.5.10)

с учетом принятых допущений (v  0, и учитывая, что течение смеси является квазиустановившимся ( ), вместо (1.5.10) имеем

(1.5.11)

В то же время, поскольку имеет место уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности):

с учетом того, что v = 0, будем иметь:

(1.5.12)

и тогда вместо (1.5.11) получаем

(1.5.13)

Если допустить, что на нижней стенке канала поток прилипает (условно) к стенке, а на свободно поверхности касательное напряжение отсутствует, то в качестве граничных условий следует принять

u = 0 при у = 0, = 0 при у = h. (1.5.14)

Тогда, согласуя общее решение уравнения (1.5.13) с граничными условиями, получаем:

(1.5.15)

где для сокращения записи обозначено с = dФ/dx.

В частности, если вязкость среды постоянна, т.е.  = ₀ = const, то в соответствии с (1.5.15) для профиля скорости u приходим к па­раболической зависимости

Учитывая, что рассматриваемое течение смеси является безнапорным в направлении оси х, т.е. dp/dx = 0 в соответствии с формулой (1.5.6) имеем:

(1.5.16)

и поэтому формула (1.5.15) принимает вид:

(1.5.17)

Если вязкость смеси связана с у зависимостью (1.5.2), то вместо (1.5.17) будем иметь:

где  = 1 + ;  = /h.

Откуда, проводя интегрирова­ние, получаем:

(1.5.18) В свою очередь, распределение давления в потоке по высоте слоя вытекает из (1.5.6), (1.5.9):

дФ/ду = др/ду/ + gcos,

откуда

др/ду/ = -gcos, р = р₀ - gуcos.

Считая давление р на поверхности слоя у = h рав­ным атмосферному, т.е. принимая:

p(y = h) = P_A,

получаем зависимость давления в слое по высоте:

p(y) = P_A - g(y – h)cos. (1.5.19)

Таким образом, с помощью формул(1.5.18), (1.5.19) найдено поле скоростей и давление сдвигового слоисто­го потока зерносмеси, подверженного действию гравитационного силового поля.

На рис. 1.5.2 для значений параметров процесса ₀ = 0.02 м²/с, ₁ = 0.01м²/с (условно);  = 30, h = 0.1 м на базе зависимости (1.5.18) построены профили скоростей потока зерносмеси: для случая, когда кинематическая вязкость смеси убывает по у в соответствии с зависимостью (1.5.2) и случая, когда вязкость есть постоянная величина (₀ + ₁)/2 = 0.015 м²/с. Как следует из анализа кривых на рис. 1.5.2, профиль скоростей потока в первом случае менее “глубокий ”, чем во втором. Иначе говоря, при переменной по высоте вязкости скорость частиц зерна выше, чем во втором случае - при постоянной вязкости.

1

2

Рис. 1.5.2. Зависимости профилей скоростей потока зерносмеси от координаты у (1 – при переменной кинематической вязкости смеси; 2 – при постоянной кинематической вязкости)

В свою очередь, согласно (1.5.19) распределение давления по высоте слоя подчиняется линейному убывающему по у закону.

Внешняя задача гидродинамики

На основе зависимостей (1.5.3), (1.5.18), (1.5.19) может быть рассчитано напряженное состояние в окрестности любой частицы по­тока зерносмеси, в частности, при у = 0, т.е. и в наиболее неблагоприятном с точки зрения разрушения зерновки положении - на стенке потока:

нормальное напряжение p(y = 0) = P_A + р, (1.5.20)

где р = ghcos - избыточное давление;

касательное напряжение

(1.5.21)

Как следует из вида (1.5.21), для принятой модели течения касательное напряжение  в потоке на стенке канала не зависит от вязкостных свойств среды, причём, отношение /р = tg = f, где f - коэффициент трения скольжения.

По найденным согласно формулам (1.5.20), (1.5.21) зна­чениям р и _ху может быть рассчитано напряженное состояние в зерновке с позиции ее прочности при транспортировке в самотечном канале.

Пусть, например, параметрами зерносмеси явля­ются (условно):  = 2000 кг/м³, ₀ = 0.02 м²/с, ₁ = 0.01м²/с;  = 30, h = 0.1 м.

Тогда согласно фор­муле (1.5.19) для избыточного давления будем иметь

р = ghcos = 12009.80.10.87  1.02 кПа,

а в соответствии с (1.5.21) для касательного напряжения получим

= ghsin = 12009.80.10.5  590 Па.

Результаты данного исследования могут быть полезны при проектировании самотечных систем в производст­венных помещениях элеваторов, комбикормовых за­водов, зерноочистительных отделений мельниц. В том числе они полезны при теоретической проработке самотечных систем, по которым переме­щаются крупяные культуры и семена зерновых, бо­бовых и масличных культур.