Глава 1. Кинетика частиц при дроблении и транспортировке сыпучих материалов

1.1. Расчёт эффективности процесса измельчения частиц в бесситовых дробилках ударного действия

Измельчение материала играет важную роль во многих обрабатывающих производствах пищевой, химической, горнорудной и других отраслей промышлен­ности. При этом одним из наиболее эффективных способов воздействия на такое сырье как зерно, мел, соль и другое, с целью его разрушения является ударный. Так, согласно литературным данным [1], [2], стоимость измельчающих машин ударного действия на единицу производительности ниже, чем валковых и щековых дробилок, соответственно в 1.5-2.0 и 3.5-5.5 раза, масса - в 4.0 и 4.5-5.0 раз и мощность установлен­ных электродвигателей - в 1.1 и 1.5-2.0 раза.

В настоящем разделе на основе найденных экс­периментальным путем статистических значений величин средней критической скорости разруше­ния частиц и удельной энергии измельчения при прямом ударе о преграду получен коэффициент эффективности процесса разрушения, найдена функция распределения относительной частоты разрушенных частиц по их размерам.

Пусть рабочими органами дро­билки являются ротор с шарнирно закрепленны­ми на нем ярусами цилиндрических молотков (пальцев) и соосная ротору цилиндрическая дека (рис. 1.1.1). Поступающие в корпус дробилки частицы сыпу­чего материала сначала испытывают удар молот­ка, приобретая при прямом ударе скорость в (1 + k) раз большую, чем окружная скорость мо­лотка в месте соударения (где k - коэффициент восстановления), а затем удар о деку. Поскольку цилиндрический палец представляет собой по­верхность отрицательной кривизны, то траекто­рии частиц, отскакивающих от его поверхности, при первом ударе взаимно отклоняются, т.е.

Рис. 1.1.1. Схема ударного воздействия на частицу в бесситовой дробилке: 1 – ротор; 2 - молоток; 3- дека

в по­следующем создаются предпосылки для хаоти­ческого движения коллектива частиц в рабочем объеме дробилки, что приводит в целом к ухуд­шению условий измельчения материала. Поэтому наиболее эффективными считают первый удар молотка по частице и второй удар ее о деку [1]. На основе анализа кинетики частиц по этапам ее движения в рабочем объеме дробилки исследуем эффективность работы машины в предположе­нии, что разрушение частицы происходит после второго удара о деку, частица имеет сферичес­кую форму, скорость частицы до ее первого удара о молоток мала по сравнению со скоростью после удара, проскальзывание частицы при ударе отсутствует, т.е. удар идеальный, сопротивление воздуха невелико.

При анализе процесса ударного взаимодей­ствия молотка и частицы целесообразно обра­щать это явление, предполагая, что молоток не­подвижен, а частица ударяет по нему с горизон­тальной скоростью V₀ = , где  - угловая ско­рость ротора;  - радиальное расстояние от оси вращения

Рис. 1.1.2. Схема к расчёту кинетики частицы в бесситовой дробилке: 1 – молоток; 2 - дека

ротора до места соударения молотка и частицы (рис. 1.1.2). Если  и п - касательное и направления к поверхности молотка,  и  - угол падения и угол отражения, то

v _ = vsin, v _n = vcos;

u_^ = usin, u_n^ = ucos, (1.1.1)

где v и и' - скорости частицы до и после удара.

Кроме того, как следует из теории удара [2]

u_^ = v _ , u_n^ = - kv _n, 0 < k < 1, (1.1.2)

и, поскольку | u_n | = k| kv _n |, то в силу (1.1.1), (1.1.2)

tg = tg/k,  = аrсtg(tg/k), (1.1.3)

причем

и' = v ₀,  = (sin² + k²cos²)^1/2;

и'_у = ucos, и'_z = usin,  =  + . (1.1.4)

Учитывая, что найденные по (1.1.4) значения и'_у, и'_z являются относительными скоростями частицы, в абсолютной системе коорди­нат получим

и_у = v₀ + и'_у = v ₀(1 + cos),

и_z = и'_z = v ₀ sin,

откуда

и = v₀(1 + 2cos + ²)^1/2. (1.1.5)

Как следует из формулы (1.1.5), du/d < 0, т. е. скорость отскока частицы от молотка изменяется от наибольшего значения при  = 0 до нулевого при  = /2. Поскольку геометрические и механические параметры дробилки выбираются такими чтобы за вре­мя свободного падения частицы из питающего бункера по высоте, равной диаметру молотка, последний по­вернулся на четверть оборота (при четырех молотках в ярусе), отскок частиц от молотка симметричен от­носительно сечения  = 0, т. е. плоскости ху.

Предполагая, что перед соударением с молот­ком частицы равномерно распределены по его вертикальному диаметру (что обычно реализуется в соответствии с условиями проводимого техно­логического процесса измельчения), и исходя из найденного по (1.1.5) значения скорости отскока час­тицы от молотка, можно определить относитель­ное количество частиц, скорость которых при от­скоке изменяется от максимального и = и = v₀(1 + k) при  = 0 до заданного и () значений, т.е. найти функцию распределения частиц по скоростям от­скока от молотка [3]:

Ф(и) = P(и _ < и < и _mаx) = Ф() = z/R = sin, (1.1.6)

где и _ вычисляется согласно (1.1.5).

Если зависимость (1.1.6) известна, то можно опре­делить относительную частоту, Р частиц, имеющих при отскоке от молотка скорость, изменяющуюся в интервале

v₀  и  и_mаx = v₀(1 + k). (1.1.7)

На основе зависимости (1.1.6) искомая частота рас­считывается по формуле  = sin, где согласно выражению (1.1.5)  удовлетворяет уравнению и = v₀ = v₀(1 + 2cos + ²)^1/2, откуда 2cos +  = 0 или в соот­ветствии с формулами (1.1.3), (1.1.4)

(sin² + k²cos²)^1/2+ 2соs[ + агсtg(tg/k)] = 0. (1.1.8)

Таким образом, проблема сведена к задаче отде­ления корня  уравнения (1.1.8) в интервале (0, /2). Исходя из формулы (1.1.6), для значений коэффициента восстановления, изменяющегося в интервале 0.3  k  0.5, по корням уравнения (1.1.8) на ЭВМ была рассчитана вероятность Р (рис. 1.1.3).

Рис. 1.1.3. Зависимость относительной частоты частиц с заданной скоростью соударения от коэффициента восстановления при ударе частицы о молоток: 1 – в отсутствие сопротивления воздуха; 2 - 4 – с учётом сопротивления воздуха; 2 – размер частиц  = 5 мм; 3 -  = 4 мм; 4 -  = 2 мм.

Если  - угол между вектором скорости u частицы и нормалью к цилиндрической поверхности деки (локальный угол падения), то проекция скорости на это направление u_n = ucos. Выражение для угла  в явном виде имеет довольно сложный вид, мало при­годный для использования в реальных расчетах. Поэтому для анализа удара частицы по деке, не на­рушая общности рассуждений, с небольшой погреш­ностью можно считать, что частица ударяется по ней не как по цилиндрической поверхности х² + у² = R₁², а как по плоскоcти у = а (см. рис. 1.1.2). Тогда очевидно, что    и

V = u_n = ucos (1.1.9)

Пусть F(V) = F(ucos) является функцией распределения числа разрушенных при ударе о деку частиц. При этом относительная доля частиц, имеющих при отра­жении от молотка скорость, изменяющуюся в интерва­ле (и, и + dи), а значит и в интервале (V, V + dV), при ударе о деку

P(V, V + dV) = dФ,

где V вычисляется по формуле (1.1.9), а dФ — по выра­жению (1.1.6).

В таком случае, принимая во внимание, что отно­сительное число частиц, нормальная составляющая скорости которых при ударе о деку равна V и разру­шающихся при этом, составляет F(V), относительное число частиц, имеющих при отскоке от молотка по дуге (R, R( + d)) скорость (и, и + dи) и разрушаю­щихся при ударе о деку, согласно теореме умноже­ния вероятностей составляет

dN /N₀ = F(V)dФ, (1.1.10)

где N₀ и dN - число частиц соответственно в исход­ном продукте и имеющих при отскоке от молотка скорость (и, и + dи) разрушаю­щихся при ударе о деку.

Тогда относительное число разрушенных частиц, т. е. коэффициент эффективности работы дробилки, соглас­но формуле (1.1.10) можно определить следующим об­разом:

 = (N /N₀) F (V)dФ, (1.1.11)

где N - общее число частиц, разрушенных при ударе о деку.

Значение верхнего предела _mаx в интеграле (1.1.11) обусловлено геометрическими параметрами дробилки. Если предельный угол отскока частицы, когда она еще достигает деку, равен _mаx, то в силу выражений (3), (4)

_mаx = tg( + ) = tg[ + агсtg(tg/k)],

откуда находим

tg_mаx = 0.5{-(k + 1)ctg_mаx + [(k + 1)² ctg²_mаx + 4k]^1/2}.

С учетом формул (1.1.6) и (1.1.9) интеграл (1.1.11) при­нимает .вид:

 = F (ucos)cosd, (1.1.12)

где и вычисляется по выражению (1.1.5), а — по форму­ле (1.1.4).

Таким образом, получена простая зависимость для расчета коэффициента эффективности  процесса разру­шения монодисперсных частиц в дробилке. Как видно из формул (1.1.11) и (1.1.12), в рамках принятых допущений величина  зависит от коэффициента восстановления и при ударе частицы о молоток, параметров функции F(V), определяемых материалами частиц и деки, и не за­висит от размера частицы .

Чтобы провести уточненный анализ эффективности ударной обработки материала в дробилке, необходи­мо учесть влияние на движение частицы силы сопротив­ления воздуха, считая его в целях упрощения не­подвижным и пренебрегая действием на частицу силы тяжести. При этих допущениях, очевидно, что зависимость кинетики частицы от сопротивления воз­духа выражается тем сильнее, чем меньше ее размер. В этом случае, считая движение сферической частицы после удара ее о молоток прямолинейным, а закон сопротивления воздуха квадратическим по скорости частицы и, запишем уравнение движения частицы в виде:

du/dt = -u², (1.1.13)

где t - время, с;  = Зс/(2₁); с < 1 — аэродина­мический коэффициент;  и ₁ - плотность соответствен­но воздуха и частицы, кг/м³;  - диаметр части­цы, м [5] .

Принимая во внимание, что du/dt = udu/ds, где s - пройденный частицей путь (м) , представим уравнение (1.1.13) следующим образом:

du/ds = -u. (1.1.14)

Тогда, если u₀ - скорость частицы в момент отско­ка ее от молотка, а l - расстояние от молотка до деки вдоль по траектории движения частицы, из выраже­ния (1.1.14) имеем:

u = u₀exp(-l). (1.1.15)

Используя формулу (1.1.15), можно оценить влияние на скорость частицы в дробилке сопротивления возду­ха. Если условно .принять с = 1 , /₁= 10^-3,  = 10^-3м, а = 1.5с(/₁)/ = 1.51 м^-1, l = 0.5 м, то получим u/u₀ = exp(-l) = ехр (-0.75) = 0.47. Как видно, влияние сопротивления воздуха на скорость некрупных частиц достаточно велико и его следует учитывать в реальных условиях.

Для случая R=1 см, а = 50 см, с =1 (условно) с учетом сопротивления воздуха по формулам (1.1.6), (1.1.7), (1.1.15) рассчитана относительная частота Р частиц, соударяющихся с декой со скоростью и, изме­няющейся в интервале (1.1.7), в зависимости от коэф­фициента восстановления k. Как видно, рост функции Р от k — монотонный (см. рис. 1.1.3). Корректируя проведенные вычисления с учетом сопротивления воз­духа, в силу формул (16), (19) можно записать:

 = F [u₀exp(-l)cos]cosd, (1.1.16)

где u₀ согласно - выражению (1.1.5) вычисляется сле­дующим образом:

u₀ = v₀(1 + 2cos + ²)^1/2. (1.1.17)

Как видно из формул (1.1.16), (1.1.17), определяемый на основе уравнения (1.1.16) коэффициент эффективности дробления  -зависит от размера частицы. Кроме того, учитывая, что l = (a - Rcos)/cos и   /2, коэффи­циент  зависит и от геометрических параметров дробилки (см. рис. 1.1.2); Если Н — высота корпуса дробилки над молотком, то, принимая во внимание, что

a - Rcos = [(a - Rcos)² + (Н - Rsin)²]^1/2cos, (1.1.18)

где  связан с  зависимостями (1.1.3), (1.1.4), в качестве верхнего предела -_max в интеграле (1.1.16) следует принять значение корня  уравнения (1.1.18). Так как согласно вероятностному смыслу функции распределения 0 < F < 1, то, исходя из уравнения (1.1.16), получаем оценку максимального значения коэффициента :

_max = F [u₀exp(-l)cos]cosd <

< cosd = sin _макс < 1. (1.1.19)

Таким образом, при наложенных на исследуемый процесс ограничениях независимо от конкретного вида функции распределения F(V), характеризующей зависимость частоты разрушения частиц от скорости прямого соударения их с преградой, для реальной дробилки коэффициент эффективности не может пре­вышать величину _mаx = sin_mаx. Отметим, что зави­симости коэффициента  от угловой скорости  ротора и скорости падения частиц перед ударом W по условиям рабочего процесса учитываются косвенным образом: а именно, за время падения частицы по диаметру молотка положение под питающим бункером в резуль­тате поворота ротора согласно расчету должен зани­мать следующий в ярусе по порядку следования молоток.

Проблема нахождения функции распределения F(V) представляет собой трудную самостоятельную задачу в механике

Рис. 1.1.4. Эмпирическая функция распределения частиц по критическим скоростям: 1- один удар; 2- два удара; 3- три удара.

разрушения материалов. При этом разру­шение частиц связывают с развитием образующихся в них в результате удара микротрещин, в частности, известны, например, результаты ударных испытаний одиночных сферических частиц из стекла [6] . Ве­роятность разрушения материала в этом случае удов­летворительно описывается двухпараметрическим распределением Вейбула — Гнеденко:

F(V) = 1 - exp(-a₀ V ), (1.1.20)

где a₀ и a_V - положительные параметры распреде­ления.

Если преобразовать уравнение (1.1.20) к логарифмиче­ским координатам lg[-ln(1 — Р)] - lgV, т. е. вместо него рассматривать зависимость

lg[-ln(1 — Р)] = lga₀ + a^VlgV, (1.1.21)

то, обрабатывая по ней методом наименьших квадра­тов экспериментальные данные о разрушении частиц биологического происхождения (зерновок пшеницы) при 1, 2 и 3 ударах, можно получить функцию распре­деления частиц по критическим скоростям, приведен­ную на рис. 1.1.4. Как видно из рисунка, отрезки прямых близко отстоят от опытных точек.

Принимая в качестве исходной функцию распреде­ления в виде (1.1.20), в частности, вместо формулы (1.1.12) имеем:

_max = {1 - exp[-a₀(u₀ cos) ]}cosd. (1.1.22)

Если функцию распределения выбирать в виде линии регрессии, построенной по точкам при двух­разовом ударе, то получим a₀ = 0.00195 и a_V = 1.570. Тогда в соответствии с уравнением (1.1.20)

F(V) = 1 - exp(-a₀ V ), (1.1.23)

Таким образом, согласно .формулам (112), (1.1.23) на­ходим:

 = {1 - ехр [-0.00195(ucos)^1.57]}cosd. (1.1.24)

На основе формулы (1.1.24), принимая для частиц рассматриваемого типа k = 0.37 и _mаx = 30°, путем расчета получили  = 0,234. При этом соглас­но экспериментальным данным по дроблению частиц в лабораторных условиях до крупности менее 3.5; 3.0; 2.0 мм относительное количество измельченной фракции g_к, определенное просеиванием через сито с размером отверстий d = 1 мм, составляет соответствен­но 0.145; 0.19; 0.37. Как видно, найденное расчетное значение  = 0,234 близко к среднему g_к, что может служить подтверждением адекватности принятой фи­зической модели реальному процессу дробления частиц в молотковой дробилке.

Обоснование выражения функция распределения на основе энтропийного метода

Пусть Ф(V) - функция распределения относи­тельного числа разрушенных при ударе о деку частиц, где V- скорость прямого удара частицы о преграду. Функцию распределения Ф(V) находят путем обработки экспериментальных данных по регрессионному методу, предполагая, что искомая функция (уравнение регрессии) под­чиняется двухпараметрическому распределению Вейбула-Гнеденко [1].

Однако эта функция мо­жет быть получена на основе более строгого под­хода, например с помощью энтропийного метода. В соответствии с концепцией этого метода при определении функции распределения F использу­ют лишь наиболее достоверные сведения, такие, как данные по дискретному характеру среды, сто­хастическому характеру исследуемого процесса на микроуровне и другие. Кроме того, учитывая, что совокупность неупругих соударяющихся с де­кой частиц представляет собой незамкнутую тер­модинамически неравновесную механическую систему, то исходя из концепции локального равновесия системы, проблему описания процес­са дробления частиц сводят к анализу поcледовательности наиболее вероятных неравновесных состояний системы, характеризуемых на макро­уровне значениями некоторых осредненных па­раметров [4], [5]. В таком случае, согласно форма­лизму Джейнса, в рамках информационного под­хода при описании процесса ударного разрушения частиц в корпусе дробилки в качестве таких осредненных параметров могут быть использованы статистические значения моментов распределе­ния относительного числа разрушенных частиц по скоростям прямого соударения. Имея в виду, что по таким сыпучим материалам, как соль, мел, а также частицы зерна, опытным путем получено большое количество данных по средним значени­ям скоростей разрушения и удельной энергии разрушения частиц, в качестве моментов распре­деления частиц могут быть использованы сред­ние значения двух первых моментов - по скорос­тям и квадратам скоростей разрушения частиц [5]. Тогда искомую плотность распределения час­тиц по скоростям разрушения определяют как функцию, реализующую максимум информаци­онной энтропии, при наложенных на функцию ограничениях по этим моментам распределения.

Если dN(V) - число частиц, скорость разруше­ния которых при прямом ударе (критическая ско­рость) ограничена интервалом (V, V + dV), то плотность распределения частиц по скоростям разрушения определяется по формуле

p(V) = [dN(V)/dV]/N₀. (1.1.25)

Тогда, если V_cp - средняя критическая скорость; x = V/V_cp - нормированная скорость, то, согласно (1.1.25), имеем

p(x) = [dN(x)/dx]/N₀.

Таким образом, исходя из определения плот­ности вероятности и моментов распределения, получим [3]

p(x)dx = 1; (1.1.26)

xp(x)dx= 1; (1.1.27)

x²p(x)dx=², (1.1.28)

где х₁ = V₁/V_cp (V₁ - предельная скорость, т.е. ско­рость прямого удара, при которой все частицы разрушаются); ² — удельная нормированная энергия разрушения. В качестве информацион­ной энтропии, характеризующей степень неопре­деленности распределения частиц по нормиро­ванным скоростям, принимаем

Н=- p(x)lnp(x)dx = 1. (1.1.29)

На основе принципа максимальной энтропии и в соответствии с формализмом Джейнса наибо­лее правдоподобным значением р является такое, которое сообщает максимум энтропии (1.1.29) при ограничениях (1.1.26) - (1.1.28) [4]. Проблема реализа­ции условного экстремума может быть решена методом Лагранжа [6]. С этой целью, умножая (1.1.26) на (1 - ), (1.1.27) - на ( -), (1.1.28) - на (-²) (временно) и складывая полученные результаты с (1.1.29), состав­ляем функцию Лагранжа

L= [-plnp + (1 - )p +p х + ²p х²]dx,

варьируя которую по р, получим необходимое условие максимуму энтропии (1.1.29):

-1 - lnр + (1 - ) + х + ²х² = 0,

откуда

р(х) = ехр( - х - ²х²). (1.1.30)

Согласуя (1.1.30) с (1.1.26) - (1.1.28), получим систему трех алгебраических уравнений относительно  , , :

е^

е^

е^

которая сводится к системе двух уравнений по  и :

(1.1.31)

Таким образом, проблема приведена к задаче определения корней  и  в системе трансценден­тных уравнений (1.1.31). При этом

е^ = ( )^-1.

Возвращаясь к размерным переменным, в силу (1.1.25), (1.1.30), имеем

(1.1.32)

Эту формулу для расчета плотности распреде­ления вероятности, основанную на анализе иссле­дуемой задачи с позиций информационного под­хода, следует считать наиболее вероятным ре­зультатом, полученным на основе имеющейся ис­ходной информации.

Принимая во внимание (1.1.32) и учитывая, что р(V)dV = dФ, F() = sin, преобразуем (1.1.11) к виду

(1.1.33)

где

_max =  _max -  _max,  _max - рассчитывается исходя из (1.1.3), V- в соответствии с (1.1.5).

Как следует из (1.1.33), значение коэффициента эффективности ограничено интервалом

0     _max, (1.1.18)

причем оценка (1.1.34) не зависит от вида функции .

С позиций информационного подхода может быть решена и такая важная задача процесса дро­бления, как определение гранулометрического состава измельченных частиц, представляющего собой наиболее общую информационную харак­теристику измельчаемого материала. Если исхо­дить из того, что в процессе обработки в дробил­ке частица подвергается многократным соударе­ниям с рабочим органом машины (а возможно, и с другими частицами сыпучего материала), то такой процесс носит практически случайный харак­тер. Поэтому для описания плотности или фун­кции распределения частиц по крупности необхо­димо исходить из таких статистических величин, как, например, срединный (медианный) диаметр и (или) среднеквадратичное (стандартное) откло­нение, а также, возможно, и из моментов распре­деления более высокого порядка.

Пусть известен медианный диаметр как та­кой размер частицы, что объем всех частиц в сыпучем материале мельче или крупнее составля­ет половину общего объема, и стандартное откло­нение как среднеквадратичное отклонение размеров частиц от . В таком случае в целях упроще­ния анализа при определении объемной плотнос­ти распределения целесообразно вместо диа­метра частицы  рассматривать масштабированную величину Тогда, предполагая, что в сыпучей смеси имеются частицы всевоз­можных размеров, по аналогии с (1.1.10) - (1.1.12) можно записать

p(x)dx = 1; (1.1.35)

xp(x)dx = 0; (1.1.36)

x²p(x)dx = ², (1.1.37)

где  = lg s, s - масштабированное среднеквадра­тичное отклонение. В таком случае, если в качест­ве информационной энтропии принять (1.1.29) и оп­тимизировать его при ограничениях (1.1.35) - (1.1.37) на основе метода неопределенных множителей Лагранжа, то, умножая (1.1.35) на (1 - ), (1.1.37) - на (-²) и складывая полученные результаты с (1.1.29), прихо­дим к функционалу

L= [-plnp + (1 - )p - ²p х²]dx, (1.1.38)

откуда, варьируя по р и потенцируя, получим плотность распределения частиц по масштабиро­ванным размерам:

р(х) = ехр( - ²х²). (1.1.39)

Согласуя (1.1.39) с (1.1.35), (1.1.37), имеем систему [6]

откуда получим

 = ехр(-) =

Поэтому (1.1.39) принимает форму

р (х) = ехр [-х²/(2²)]/( ). (1.1.40)

Тогда на основе (1.1.40) находим функцию распре­деления

F(t) = (1.1.41)

где t = х/ = . При этом в силу четности плотности распределения (1.1.40) условие (1.1.36) удов­летворяется автоматически.

Поскольку теоретический результат (1.1.41) ранее обоснован и экспериментально подтвержден, то можно считать достоверным использование ин­формационного принципа максимальной энтропии для вывода (1.1.32), (1.1.41).

Полученное выражение функции распределе­ния частиц по размерам для сыпучего материала с заданным медианным диаметром и среднеквад­ратичным отклонением является нормированной функцией нормального распределения.

Если дополнительно известны статистические моменты порядков выше второго, то очевидно, что в принципе по рассмотренной методике могут быть найдены более точные (по вероятности) функции распределения, описывающие гранулометрический состав частиц сыпучего материала.