Глава 4 Расчёт процесса агрегирования обезвоживаемых частиц в воздушном потоке

В данном разделе исследуется изменение гранулометрического состава взвешен­ного в стационарном потоке газа коллектива мелких частиц в допущении, что эволюция дисперсности частиц обусловлена явлениям испарения (высушивания) и коагуляции взвеси. Предполагается, что рассматриваемая смесь находится в квазиравновесных низкотемпературных условиях, объёмная концентрация частиц невелика.

Кинетика процесса переноса массы и тепла при обезвоживании дисперсий, в том числе, и в воздушном потоке, являлась предметом анализа большого числа как отечественных (Б.В. Дерягин, А.А. Долинский, С.С. Духин, П.С. Куц, А. В., Лыков, К.Д. Малецкая, Н.А. Фукс, В.А Шейман и др.), так и зарубежных (O. Birks, R.S.Bradley, V. Gerhard, O. Knacke, L. Monchik, H. Reiss, J.N. Stransky и др.) учёных. В работах этих исследователей дано обоснование кинетических моделей процессов переноса тепла и массы в телах различной природы, предложены эффективные методы количественного анализа ряда важных в теоретическом и техническом отношениях задач. В то же время нужно отметить, что практически мало изученной остаётся такая имеющая место в ряде случаев технологического передела взвесей сушкой сторона явления переноса коллектива взвешенных в сопутствующем воздушном потоке частиц, как их агрегирование.

Известно, что процессы переноса массы и тепла рабочих объёмах распылительных сушилок зависят от движущих сил, обусловленных градиентами температур, химических потенциалов, а также скорости движения газа. При этом движение и сушка увлажнённой частицы в потоке воздуха сопровождается одновременно протекающими процессами диффузии и теплопроводности, молярного переноса массы и тепла, лучистого теплообмена, термической диффузии и неизотермической массопроводности [49],[51]. В результате чего происходит потеря массы частицы из-за её обезвоживания. Естественно, что математическое описание и анализ кинетики исследуемого процесса даже для отдельно взятой частицы (капли) в наиболее общем виде весьма сложно [53] - [61]. Поэтому в некоторых случаях в целях упрощения задачи при исследовании процесса обезвоживании капли в низкотемпературных условиях, путём введения учитывающего особенности тепло- и влагопереноса числа Ребиндера Rb = (с/L)(dt/du), где с – удельная теплоёмкость, L – удельная теплота фазового превращения, t – температура, u – влагосодержание, расчёт теплообмена на базе основного уравнения теории сушки сводят к влагообмену и наоборот [57]. В процессе сушки в низкотемпературных условиях с низким градиентом температуры в капле явление переноса влаги в ней можно считать доминирующим. Поскольку в практических расчетах результат совокупного действия отдельных элементарных явлений обычно относят к основным из них, полагающихся глав­ными, то в рассматриваемой проблеме, в качестве таких явлений, игнорируя отвод тепла и другие факторы, выбираются массоперенос собственно частицы в воздушном потоке и молярный отвод вещества от частицы в воздушную среду.

Для того чтобы получить пригодные для количественного анализа аналитические зависимости по результатам коагулирования взвешенных в газовой среде частиц проведём некоторое упрощение исходной физической модели задачи. А именно, при исследовании явлений массопереноса внутреннюю и внешнюю задачи гидродинамики будем рассматривать отдельно друг от друга. Для чего, с учётом принятых допущений по концентрации взвеси проведём сначала оценку гидродинамических характеристик однородного потока, т.е. проанализируем внутреннюю задачу гидродинамики. Затем решаем внешнюю задачу по определению собственно кинематических характеристик движения частиц для рассчитанного поля скоростей потока. Исходя из такого подхода эволюция гранулометричес­кого состава взвеси, характеризуемого, например, счётной плотностью распределения частиц в несущем потоке, может быть описана в рамках выражающего баланс числа коагулирующих и испаряющихся частиц кинетического соотношения. После чего на основе данного соотношения может быть исследована эволюция дисперсионных характеристик взвеси в исследуемом объёме. В дальнейшем на базе полученных по результатам явления массопереноса взвеси в воздушном потоке кинематических зависимостей движения частиц анализируется явление их агрегирования.

АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ ЧАСТИЦЫ

В предположении, что взвешенные в потоке воздуха частицы не сильно искажают течение газа, будем считать, что поток движется с постоянной скоростью U в горизонтальном направлении х (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема к расчёту движения частицы в потоке газа

С целью упрощения количественного анализа поставлен­ной задачи дополнительно предполагаем, что частицы имеют форму, мало отличающуюся от сферической; из-за относительно высокой скорости потока траектории частиц примерно прямолинейны; влияние силы тяжести невелико.

Чтобы исключить, сделав их внутренними, силы давления между частицей и отводимыми от неё в результате испарения молекулами рассматриваем в некоторый момент времени t систему, составляющую из самой частицы массой m и сово­купностью молекул массой dm, в течение промежутка времени dt.

Тогда согласно теореме сохранения импульса в дифференциальной форме можем записать [62]

dQ = F^edt, (4.1)

где

dQ = mdv + vdm,

где v - скорость частицы, F^e - главный вектор внешних сил, приложенных к системе частица+молекулы.

В принятом допущении о прямолинейном характере движения потока и частиц, уравнение (4.1) в проекции на ось х примет вид

dQ = F^edt, (4.2)

где

dQ = mdv + vdm. (4.3)

В области характерных для исследуемой задачи значений параметров по радиусу частиц r  5. . .50 мкм, скорости потока U  10. . . 20 м/с, кинематической вязкости воздуха   210^-5 м²/с значения числа Рейнольдса варьируются в интервале 10  Re  100. Поэтому в качестве закона сопротивления движению частицы выбирается квадратическая зависимость силы сопротивления от местной скорости частицы [42]

F^e = С_хSr₁(v - U)²/2, (4)

где для характерных по рассматриваемому гидродинамическому режиму потока чисел Рейнольдса коэффициент сопротивления с достаточной степенью точности может вычисляться согласно обусловленной вязкостью газа зависимостью Клячко

С_х = ,

S = pr² – площадь миделевого (поперечного к направлению потока) сечения частицы, r₁ - плотность воздуха.

В области варьируемых значений Re количественный анализ на базе формулы Клячко, для выбранных значений радиусов частиц 5 < r < 50 мкм показывает, что коэффициент С_х изменяется в интервале 1.3 < С_х < 3.5.

Избегая количественного анализа, на основе дифференциального уравнения теории сушки, переноса влаги в капле, исходную систему уравнений (2) – (4) замыкаем полученной на базе опытных данных, и справедливой для режимов течения с числом Рейнольдса порядка 100 и более, кинетической зависимостью Н. Фресслинга по скорости испарения влаги [64]

dm/dt = -рr(rv)^1/2, (4.5)

где р - интенсивность испарения - положительная постоянная величина - параметр, характеризующий изменение массы частицы в единицу времени за счёт испарения, m = 4prr³/3, r – плотность частицы.

Учитывая, что dv/dm = (dv/dx)(dx/dt)(dt/dm) = v(dv/dx)(dt/dm), согласно (5) получим

dm = -(рr^3/2/v^1/2)dх. (4.6)

В результате, исходя из (4.2), (4.3), (4.6), будем иметь дифференциальное уравнение первого порядка по скорости v

rvdv/[U^1/2v^3/2 - (v - U)²] = dx, (4.7)

где

 = 3p/[4(rU)^1/2],  = (3/8)(₁/)С_х (4.8)

– безразмерные параметры.

Cогласуя решение уравнения (4.7), с начальным условием

v = v₀ при х = 0,

получим интеграл

х = r . (4.9)

Как видно из (4.9), выразить скорость частицы v как функцию остальных переменных задачи, в явной форме невозможно. Тем не менее, современные математические среды такие как Matchad [34] допускают, в частности, с помощью операции root, проводить в операторном виде количественное моделирование задачи по переменным, заданными неявно (при этом объём проводимых на процессоре вычислений, естественно, cущественно возрастает).

Пусть скорость частицы v выражается из (4.9) в виде оператора-функции

v = F^-1(x/r), (4.10)

где

F = F(x/r) = .

Расчёт скорости частицы согласно (10) проводили исходя из значений режимных параметров: плотность частицы r » 1000 кг/м³, плотность газа r₁ » 1.3 кг/м³, скорость потока воздуха U = 15 м/c, размеры распыленных частиц d = 2r варьируют в области значений 20 мкм £ d £ 100 мкм [14]. Коэффициент интенсивности испарения полагали (экспертно) р  10^-3 кгм^-2с^-1/2.

Анализ приведенных в виде графиков на рис. 4.2 результатов вычислений на основе (4.10) показывает, что скорость частиц небольшого размера вблизи питающего канала вдоль по потоку сравнительно быстро релаксируется к скорости U. Причём, из-за большей относительной “парусности”, кинематика частиц меньшего размера протекает более интенсивно, чем более крупных. Кроме того, из анализа графиков на рис. 4.2 следует, что увеличение скорости испарения приводит к некоторому росту скорости частицы, что отражает действие на частицу реактивного эффекта вследствие отделения от поверхности частицы молекул при испарении. Так, из данных рис. 4.2 вытекает, что различие расчётных значений скоростей частиц, особенно мелких, в том случае, когда испарение учитывается (р = 10^-3 кгм^-2с^-1/2) и когда эти фактором пренебрегают (р  0), может достигать 13%.

1

2

Рис. 4.2. Зависимость скорости частицы от расстояния х (м) (1 – m = 1.2610^-11 кг; 2 – m = 10^-10 кг; p = 510^-4 кг/(м²с^1/2))

В свою очередь, согласно зависимости (4.6) относительная убыль массы частицы вдоль по потоку в результате испарения

d = dm/m₀ = -(рr^3/2/v^1/2)dх/m₀, (4.11)

где m₀ = (4/3)r³ – масса частицы на входе в канал, v - рассчитывается по формуле (4.10).

Интегрируя (4.11), будем иметь

 = (4.12)

где  характеризует убыль массы на единицу длины канала.

2

1

Рис. 4.3. Зависимость относительной убыли  массы частицы от расстояния х (м) (1 – r = 10 мкм; 2 – r = 20 мкм; p = 10^-3 кг/(м²с^1/2))

На базе формулы (4.12) проведено количественное моделирование относительной убыли массы частицы вдоль по потоку для тех же значений параметров, что и ранее, и радиусов частиц r = 10 и r = 20 мкм. По виду графиков на рис. 4.3 можно заключить, что частицы меньшей массы в результате испарения теряют относительно большее количество влаги, чем частицы более крупного размера (при разнице размеров в два раза, относительная убыль массы изменяется в 2.7 раза), что соответствует физическому смыслу протекания процесса.

ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОАГУЛИРОВАНИЯ ИСПАРЯЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ

Перенос потоком газа коллектива взвешенных в нём частиц разного размера, одновременно с их обезвоживанием, сопровождается сближе­нием частиц, их столкновением, с последующим объединением частиц в агрегаты и, возможно, деструкцией в дальнейшем этих агрегатов. При постановке задачи о кинетике взаимодействующих в потоке газа взвешенных в нём частиц допускаем, что имеют место лишь парные столкновения частиц; влияние посторонних частиц на процессы сближе­ния, столкновения, слипания (слияния) двух час­тиц невелико; характер­ное время сближения и слипания частиц сущест­венно меньше характерного времени изменения спектра масс дисперсной системы. Кроме того, случайные силы, действующие на дисперсную систему, таковы, что поведение частиц между актами коагуляции является статистически независимым.

В более узкой постановке данной задачи, когда испарение частиц не учитывается, выполнено значительное число работ по течениям двухфазной смеси типа газ - полидисперсные капли в условиях коагуляции соударяю­щихся частиц [56] – [58]. В этих работах при анализе проблемы коагулирования (и дробления) частиц исходили из концепции совместного движения взаимодействующих фаз смеси на основе замкнутой системы кинетических уравнений в виде уравнений сохранения импульса, массы и баланса по числу коагулирующих частиц. При этом приходилось прибегать к весьма сложным по искомым величинам дифференциальным и интегро-дифференциальным связям в дискретной или непрерывной формах, анализ которых в последующем реализовали в численном виде.

В том случае если скорость сближения частиц разного размера не мала (как в исследуемом случае), то влиянием электростатических и молекулярных сил на их коагуляцию обычно пренебрегают, считая, что кинетика коагуляции частиц в потоке определяется главным образом механическими свойствами вязкой дисперсионной среды [59] (кинематическая коагуляция).

Тогда при количественном анализе спектра масс взвеси, имея в виду, что движение частиц вдоль по потоку носит практически взвешенный характер, может быть использовано уравнение типа Смолуховского стационарной конвективной коагуляции [60] для счётной плотности распределения частиц:

Un/x = ¢(m - m, m)n(m-m)n(m)dm - n(m) ¢(m, m)n(m)dm, (4.13)

где n(m, t, х) - счетная плотность распределения (произведение ndm - число частиц массами от m до m + dm в единице объема среды); ¢(m - m, m)n(m-m)n(m)dm - вероятность соударения за время dt частиц массами m и m, и радиусами r(m) и r(m) в цилиндре радиусом r(m) = r_m, r(m) = r_m и высотой | v(m) - v(m)|dt, т.е. в цилиндре объёмом

dV = ¢(m,m)dt, (4.14)

где

¢(m,m) = p(r_m + r_m)²| v(m) - v(m)| (4.15)

- так называемая константа коагуляции.

Вводя функцию D(m, m¢, m¢¢) = d(m - m¢ - m¢¢) - d(m - m¢) - d(m - m¢¢) [59], где m¢, m¢¢ - массы частиц, d - дельта-функция Дирака, уравнение (4.13) преобразуют к симметричному виду

Un/x = 0.5 ¢(m¢, m²)D(m, m¢, m¢¢)n(m¢)n(m²)dm¢dm². (4.16)

Поскольку

r_m = m^1/3 (где  = [3/(4pr)]^1/3), (4.17)

то, принимая во внимание (4.10), (4.15), (4.17), будем иметь

¢(х, m¢, m²) = ²(m¢^1/3 + m²^1/3)²çF^-1(^-1m¢^-1/3х) - F^-1(^-1m²^-1/3х)ç. (4.18)

В результате, подставляя (4.18) в (4.16), получим

n/x = (m¢,m²)D(m, m¢, m¢¢)n(m¢)n(m²)dm¢dm², (4.19)

где  = 0.5¢/U.

Решение уравнения (4.19) должно быть согласовано с начальным условием

n(m, х) = n₀(m) при х = 0, (4.20)

где n₀(m) - счётная плотность распределения частиц на входе в канал.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ КИНЕТИКИ КОАГУЛЯЦИИ ОБЕЗВОЖИВАЕМЫХ ЧАСТИЦ

По своей структуре (4.20) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение такого же типа, что и соответствующее уравнение нестационарной кинематической коагуляции. В то же время, из-за неявного задания входящей в выражение (4.15) скорости (4.10) коагулирующих частиц, ядро уравнения (4.19) имеет неопределённую форму.

Рис. 4.4. Зависимость постоянной коагуляции  от массы m частицы (кг) (х = 0.1 м; p = 10^-3 кг/(м²с^1/2)).

Поскольку задача Коши (4.19) - (4.20) не допускает решение в явном виде, то с целью упросить количественный анализ данной задачи предполагаем, что в исходной смеси интервал изменения частиц по массам m₁ £ m £ m₂, где m₁ и m₂ - соответственно, масса наименее мелкой и наиболее крупной частицы, незначителен. В таком случае, учитывая, что в соответствии с (4.18) функция (m¢, m²) зависит от своих аргументов m¢, m² симметричным образом, о характере поведения данной функции можно судить, например, исходя из зависимости (m, 0.5(m₁ + m₂)).

Так, если исходная смесь включает частицы массами, не менее m₁ = m(r = 10мкм) = 1. 2610^-11 кг и не более m₂ = m(r = 20 мкм) = 10^-10 кг, то как видно из рис. 4.5, при р = 510^-4 кгм^-2с^-1/2 зависимость , изменяющаяся в интервале 0 < (m, 0.5(m₁ + m₂)) < 610^-9, не сильно отличается от своего среднего значения ` = const, определяемого для заданных m₁ и m₂ согласно (рис. 4.4)

(m¢,m²)dm¢dm² = 3.610^-9 м². (4.21)

В таком случае вместо уравнения (4.19) может быть приближенно записано

¶n/¶x = a D(m, m¢, m¢¢)n(m¢)n(m²)dm¢dm², (4.22)

где обозначено а = .

Если N(x) = n(m,x)dm - число частиц в единице объема смеси, то, после умножения (4.22) на dm и последующего интегрирования по m, получим уравнение для N

¶N/¶x = - aN². (4.23)

В свою очередь, уравнение (4.22) допускает эффективное применение к нему лаплас-преобразования по переменному m [59]. А именно, если

`n(s,х) = L{ n(m,x)} = exp(-sm)n(m,x)dm, (4.24)

с изображением L по Лапласу функции n, то, умножая уравнение (4.22) на exp(-sm) и интегрируя его затем по m , с учётом (4.24) имеем

¶`n/¶x = a(`n² - 2N`n). (4.25)

В дальнейшем, решая совместно (4.23) и (4.25), и переходя от изображения к оригиналу, получим решение вида [37]

(4.26)

где N = N₀ при х = 0, А = А(х) = 1/(1 + В), В = В(х) = аN₀x, = L[n₀(m)], L^{- 1} - обратное преобразование Лапласа.

Для того чтобы конкретизировать полученное решение, не нарушая общности поставленной задачи, будем предполагать, что исходная смесь включает частицы лишь двух размерных фракций массами m₁ и m₂. Что соответствует счетной плотности распределения частиц в исходной смеси как суперпозиции пары дельта-образных функций, играющей фундаментальную роль в теории коагуляции. А именно, будем полагать счетную плотность как

n₀(m) = N₀[a₁d(m - m₁) + a₂d(m - m₂)] , a₁ + a₂ = 1, (4.27)

для которой изображение (Лаплас-образ) `n₀ имеет вид

`n₀(s) = N₀[a₁exp(-m₁s) + a₂exp(-m₂s)]. (4.28)

При этом, принимая во внимание разложение

(`n₀/N₀)ⁱ = i!a₁^{i - k}a₂^kexp{-[(i - k)m₁ + km₂]s}/[ k!(i - k)!],

в силу (4.30), (4.32) получим выражение оригинала

 L^-1 exp{-[( i - j +1 - k)m₁ + km₂]s}).

или, в явной форме

 {[(i - j +1 - k)m₁ + km₂],m}, (4.29)

где  - по-прежнему, импульсная функция Дирака.

Умножая (4.29) на dm и интегрируя затем полученное выражение в пределах от 0 до m, будем иметь

F(m,x)

 H{[(i - j +1 - k)m₁ + km₂], m}, (4.30)

где F(m,x) = n/N₀dm - функция распределения, Н(m) = d(m - b)dm - ступенчатая функция (Хевисайда), такая, что

1 при m ³ b,

Н(m - b) =

0 при m < b,

где b – вещественное число.

Сходимость решения (4.29) обосновывается путём построения соответствующей мажоранты для данного ряда [37]. Учитывая, что при коагуляции частиц количество их N(x) в единице объёма убывает по сечению потока, функцию F(m,x) (4.29), нормированную на N₀ (а не на N(x)), следует считать фиктивной функцией распределения.

В расчётах ряд (4.29) заменяли конечной суммой

F(m,x,q)

 H{[(i - j +1 - k)m₁ + km₂], m}, (4.31)

где q – положительное натуральное число.

Из анализа формулы (4.31) вытекает, что сохранение в сумме (4.31) каждого последующего, определяемого порядком величины q, слагаемого позволяет учитывать относительное счетное содержание в потоке газа агрегатов из частиц, всё более высокого порядка (по числу частиц в агрегате). Расчёты на базе (4.31), в том числе, и в символьном виде, несложным образом могут быть реализованы, например, в среде Matchad.

Рассмотрим конкретный пример. Необходимо проанализировать количественное содержание частиц и агрегатов из них по сечениям потока теплоносителя в зависимости от физических и геометрических параметров процесса. И пусть, соответственно, плотность частиц и газа, r = 1000, r₁ = 1 кг/м³; смесь включает частицы двух фракций: мелкие - радиусом R₁ = 10^-5 м и крупные - радиусом R₂ = 210^-5 м; объёмная концентрация мелких и крупных частиц в исходной смеси с₁ = с₂ = с = 10^-5, 210^-5; коэффициент интенсивности испарения р = 510^-4 , 10^-3 кгм^-2с^-1/2.

Тогда общее число частиц обеих фракций в единице объема смеси рассчитывается согласно формуле [37]

(4.32)

Если, как в рассматриваемом примере, объемные концентрации частиц каждой из двух размерных фракций считаются одинаковыми в исходной смеси, т. е. с₁ = с₂ = с, то входящие в формулы (4.27) – (4.30) коэффициенты a₁ и a₂ связаны соотношениями: a₁ = [1 + (R₁/R₂)³]^-1; a₂ = 1 - a₁. В таком случае для выбранных значений параметров потока a₁ = 0.89; a₂ = 0.11, т.е. число частиц радиусом R₁ = 10^-5 м в исходной смеси в 8 раз превышает количество частиц радиусом R₂ = 210^-5 м.

Количественное моделирование на основе зависимости (4.31) процесса сушки частиц в потоке теплоносителя проводили выбирая в качестве определяющих варьируемых параметров данного процесса коэффициент р интенсивности массоотвода и объёмную концентрацию с частиц в исходной смеси, в качестве независимых переменных - расстояние х вдоль по потоку и массу m частиц и их агрегатов. Остальные параметров задачи - U, r, r₁, R₁, R₂ - фиксировались.

2 1 3, 4

Рис. 4.5. Зависимость функции распределения F от массы m частиц (кг) (1 – первое приближение; 2 – второе приближение; 3, 4 – третье и четвёртое приближения; L = 0.3 м; p = 10^-3 кг/(м²с^1/2))

Поскольку, согласно вычислениям (рис. 4.5), численный анализ в области выбранных значений параметров процесса на базе (4.31) выявляет достаточно быструю сходимость данного разложения, то вычислительную процедуру ограничивали пятью итерации (пятью слагаемыми внешней суммы (4.31)).

Анализ результатов расчёта, отражённых в виде графиков на рис. 4.5, 4.6, выявляет ряд особенностей протекания исследуемого процесса, не противоречащих его физическому смыслу.

Так, относительное содержание частиц в смеси согласно результатам вычислений, естественно, убывает по мере удаления от входа в канал за счёт объединения крупных частиц с мелкими (рис. 4.6).

3

2

1

Рис 4.6. Зависимость функции распределения F от массы m частиц (кг) (1 – х = 0.25 L; 2 – х = 0.5 L; 3 – х = 0.75 L; L = 0.3 м; p = 10^-3 кг/(м²с^1/2))

2

1

Рис. 4.7. Зависимость функции распределения F от расстояния х (м) (1 – m = 2.5210^-11 кг; 2 – m = 10^-10 кг; p = 10^-3 кг/(м²с^1/2))

В свою очередь, как видно по рис. 4.7, вследствие более быстрого за счёт испарения уменьшения относительной парусности у мелких частиц, как и должно быть, функция распределения F убывает по x тем быстрее, чем больше размер (и масса) частиц.

На базе расчётных данных по значению для функции распределения F (рис. 4.6) по сечениям потока теплоносителя, при объёмной концентрации частиц в исходной смеси с₁ = с₂ = с = 210^-5, коэффициенте интенсивности испарения р = 10^-3 кгм^-2с^-1/2, выявляется динамика уменьшения в смеси относительного содержания частиц радиусом менее R₂ (т.е. мелких частиц радиусом R₁) в результате агрегирования их с крупными частицами. Из анализа приведенных в таблице 4.1 результатов расчётов следует, что по рассматриваемому примеру на выходе из канала примерно пятая часть от исходного количества мелких частиц в исходной смеси коагулируется с крупными.

Таблица 4.1

Расстояние от входа в канал, Lk = 0.25kL (k = 1,2,3,4), L = 0.3 м	0.075	0.15	0.225	0.3
Приращение функции распределения F = F(0,m2) - F(Lk, m2), %	5.4	10.3	14.6	18.6

Наличие трёх ступеней в графиках функции распределения, имеющих подобную форму, на удалениях от питающего канала х = 0.25 L, 0.5 L, 0.75 L (L = 0.3 м) указывает на появление в смеси агрегатов частиц уже вблизи питающего канала. При этом наибольшая убыль по частицам обеих фракций, как и следовало ожидать, имеет место при более высокой концентрации частиц с₁ = с₂ = 210^-5.

Нужно отметить, что проведенные расчёты кинетики коагуляции испаряющихся частиц в потоке теплоносителя, по-видимому, приводят к завышенным по сравнению с имеющим место в реальных условиях результатам агрегирования частиц в потоке газа. Это, в частности, объясняется имеющим место на практике явлением обтекания мелкими частицами крупных. В расчётах данный кинематический эффект часто корректируют так называемым коэффициентом захвата [14]. Применительно к рассмотренному случаю агрегирования испаряющихся частиц в потоке теплоносителя, когда кинематика взвеси сама по себе весьма сложна и рассчитывается в неявном виде, количественное моделирование поставленной задачи с учётом коэффициента захвата становится практически нереальным из-за необходимого большого объёма проводимых вычислений.

Резюмируя изложенное заключаем, что в рамках постановки задачи проведенный количественный анализ выявил принципиальную возможность оценки эффективности процесса обезвоживания коагулирующих частиц в потоке газа.

Таким образом, в условиях средних для процесса сушки значений числа Рейнольдса проанализирована кинетика частицы сферической формы, движущейся в стационарном потоке воздуха;

на базе модели бесстолкновительного агрегирования коллектива обезвоживаемых частиц разного размера, перемещающихся заданным образом в воздушном потоке, формулируется кинетическое интегро-дифференциальное соотношение с ядром произвольной формы по эволюции дисперсности данной взвеси;

для исходной взвеси, включающей две фракции из не сильно различающихся по размерам частиц, обосновывается решение в аналитическом виде;

на базе полученного решения проводится количественный анализ особенностей счётного распределения агрегирующего в потоке газа коллектива обезвоживаемых частиц.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

а – множитель, пропорциональный константе коагуляции, м²; размер части­цы, м;

а₁, а₂, а_R - скорость рас­пространения продольных, поперечных волн и волны Рэлея, в теле, м/с;

С_х – коэффициент сопротивления потока;

с – удельная теплоёмкость, кДж/(кгК);

с₀ – коэффициент излучения абсолютно черного тела Вт/(м²К⁴);

с₁, с₂ – объёмные концентрации частиц;

d_к - критический диаметр частицы, м;

e – основание натурального логарифма; заряд электрона, Кл;

Е - модуль упругости, Па; напряжённость электрического поля, В/м;

F – счётная функция распределения частиц; площадь поверхности, м²;

F_Б, F^e, F_Ж, F_к, F_М, F_с - сила трения Басе, главный вектор внешних сил, подъемная сила Магнуса-Жуковского, сила Кулона, реактивная сила Мещерского, сила сопротивления среды, H;

f - коэффициент трения скольжения;

G – вес тела, Н;

H – функция Хевисайда; информацион­ная энтропия; высота корпуса дробилки над молотком, м;

h – высота слоя, м;

К_I, K_II - коэффициенты интенсивности напряжений при нормаль­ном отрыве и поперечном сдвиге, МПам^1/2;

k - коэффициент восстановления при ударе;

k₁- коэффициент пропорциональности;

L – изображение по Лапласу; характерное расстояние, ширина канала, м; удельная теплота фазового превращения, кДж/кг;

l - расстояние от молотка до деки, длина трещины, м ;

m - масса частицы, кг;

m_п, m_т - присоединенная масса частицы, масса частицы, кг;

N - число частиц в единице объема, 1/м³; число неразрушенных частиц; мощность силы, Вт;

N₀ - число частиц в единице объема в начальный момент времени 1/м³;

n - счетная плотность распределения частиц, 1/(кгм³);

n₀ - счетная плотность распределения частиц в начальный момент времени, 1/(кгм³); n₀ - концентрация ионов, 1/м³;

изображение по Лапласу функции n, 1/м³;

P - ударный импульс, Нс;

P_A – атмосферное давление, Па; сила давления Архимеда, H;

Р_Д, Р_K, Р_п – даламберова, поворотная (кориолисова) и переносная силы

инерции, Н;

р - интенсивность испарения, кгм^-2с^-1/2;

Q - количество движения системы, кгм/с;

q – заряд частицы, Кл; тепловой поток, Вт/м²;

q_уд - удельный заряд, Кл/кг;

q_к, q_л – конвективный тепловой поток, поток лучеиспускания от отражающей стенки, Вт/м²;

R – радиус частицы, м;

r – радиальная координата, м;

S – площадь миделевого сечения, м²;

t - время, с; температура, К;

t_з – время зарядки частицы, с;

Т - время действия ударного импульса, c; температура, К;

U - скорость потока, м/c;

u - влагосодержание, кг/кг;

и' - скорость частицы после удара, м/c;

u₀ - радиальная составляющая скорости потока (скорость отсоса), м/c;

v ' - скорость частицы до удара, м/c;

v - скорость частицы, м/c;

v ₀ - скорость частицы в начальный момент времени, м/c;

V - объем частицы, м³;

w - скорость витания частицы, м/с;

х – абсцисса точки, м;

 - безразмерный параметр, множитель пропорциональности, угол накло­на самотека; коэффициент теплоотдачи Вт/(м²×К);

 - безразмерный параметр, множитель пропорциональности, угол на­клона канала;

 - константа коагуляции, м³/с;

- осреднённое по массе значение константы коагуляции, м²;

 - плотность воздуха кг/м³; константа, характеризующая поверхностную плотность энергии на разрыв, Н/м;

₁ – плотность частицы, кг/м³;

 - диаметр частицы, м; дельта-функция Дирака, 1/кг; коэффи­циент трения качения, толщина газовой прослойки, м;

 - коэффициент уноса примесей, диэлектрическая проницаемость материала частицы, приведенная степень черноты;

 - угол отражения;

 – подвижность ионов, м²/(Вс);

 - коэффициент эффективности процесса разру­шения частиц; коэффициент теплопроводности, Вт/(мК);

 - параметр Ламе, динамическая вязкость Пас; безразмерный параметр, коэффициент осаждения целевого продукта;

 - модуль Пуассона, коэффициент кинематической вязкости, м²/с;

 - плотность частицы, кг/м³; радиальное расстояние от оси вращения, м;

₁ – плотность газа, кг/м³;

 - среднее квадратическое отклонениe;

 - время действия ударного импульса, с;  - модуль Пуассона;

Ф - функция распределения частиц по скоростям от­скока от молотка; динамическое давление, м²/с²;

 - угол падения;

 - локальный угол падения;

 - угловая ско­рость ротора, рад/с;

Критерии подобия

Rb – число Ребиндера;

Rе - число Рейнольдса.

Индексы

к – критический, конвективный;

сц – сцепление;

уд - удельный;

тр – трение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Семёнов Е.В., Глебов Л.А., Зверев С.В.Расчет эффективности измельчения сыпучих материалов в бесситовых дробилках ударного действия //Химич. пром-сть. 1990. № 12. С. 735.

2. Семёнов Е.В., Глебов Л.А. Расчет эффективности процесса измельчения сыпучих материалов в дробилках ударного действия //РАН Теор. основы химич. технологии. 1993. № 2. 204.

3. Гернет М. М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1987.

4. Вентцель Е. С.. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.

5. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

6. Кuwakara J., Jashima S. //J. Soc. Powder Technol. Jap. 1986. V. 23. № 2. P.76.

7. Сиденко П. М. Измельчение в химической промышленности. М.: Хи­мия, 1977.

8. Кафаров В. В. Примеры создания безотходных произ­водств. М.: Химия, 1982.

9. Кафаров В. В., Дорохов И. Н., Арутюнов С. Ю. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Наука, 1985.

10. Семёнов Е.В., Глебов Л.А. Расчет эффективности измельчения в дробилках ударного действия //Химич. и нефтяное машиностроение. 1993.

№ 7. С. 12.

11. Партон В. 3., Борисковский В. Г. Динамическая ме­ханика разрушения. М.: Машинострое­ние, 1985.

12. Семенов Е. В., Глебов Л. А. Расчет динамики из­мельчения частиц в дробилках удар­ного действия // Химическая промыш­ленность. 1991. № 1. С.47.

13. Партон В. 3., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение", 1988.

14. Се­дов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970.

15. Непомнящий Е. А. // ТОХТ. 1977. Т. 11. № 3. С. 477.

16. Непомнящий Е. А. // Там же. 1978. Т. 12. № 4. С. 576.

17. Шупов Л. П. Моделирование и расчет на ЭВМ схем обогащения. М.: Недра, 1980.

18. Ионов В. Н., Селиванов В. В. Динамика разрушения деформируемого тела. М.: Машиностроение, 1987.

19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для на­учных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.

20. Семенов Е.В., Фетисов А.Л., Карамзин В.А. Расчёт процесса измельчения зернопродуктов в межвальцовом зазоре //Хранение и переработка с/сырья. 1996. № 5. С.12.

21. Семенов Е.В., Глебов Л.А., Тухватуллин М.М. К вопросу о кинетике зерносмеси в самотечном трубопроводе //Хранение и переработка сельхозсырья. 2003. №9. С. 39.

22. ГортинскийВ.В., ДемскийА.Б., БорискинМ.А. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. - М.: Колос, 1973.

23. Кочин Н.Е., КибельИ.А., РозеН.В.Теоретическая гидромеханика. - М.: ГИФМЛ, 1963.

24. К вопросу о разрушении зерна в самотечном трубопроводе //Хранение и переработка сельхозсырья. 2003. №9. С. 34.

25. Партон В 3. Механика разрушения. - М.: Наука, 1990.

26. Демский А.Б., Веденьев В.Ф. Основные направления совершенствования пневмосепарирующего зерноочистительного оборудования (Обзор). М.: ЦНИИТэилегпищемаш, 1976.

27. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

28. Бусроуд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975.

29. Страус В. Промышленная очистка газов. М.: Химия, 1981.

30. Коузов П.А., Малыгин А.Д., Скрябин Г.М. Очистка от пыли газов и воздуха в химической промышленности. Л.: Химия, 1982.

31. Идельчик И.Е. Аэродинамика технологических аппаратов. М.: Машиностроение. 1983.

32. Крылов В.В., Шевельков В.В., Семёнов Е.В. Классификация сыпучих материалов в потоке воздуха при Re > 2000.// ТОХТ, 1985, т. XIX, № 6. С.843.

33. Жуков В.П., Отвиновски Х., Шувалов С.И.. Горнушкин А.Р. Влияние концентрации на граничный размер гравитационного классификатора. //Межвузовский сб. научных трудов. М.: МИХМ, 1990. С.140.

34. Кудрявцев Е.М. MATCHAD 2000. М.: 2001.

35. Трайбус М. Термостатика и термодинамика. М.: Энергия, 1970.

36. Майков В.П. // “Энтропийные методы моделирования в химической технике”. М.: МИХМ, 1981.

37. Семёнов Е.В., Карамзин В.А., Новикова Г.Д. Методы расчетов гидромеханических процессов в пищевой промышленности. – М.: МГУПП, 2002.

38. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986.

39. Коузов П.А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов. Л.: Химия, 1971.

40. Кафаров В.В. Моделирование и системный анализ биохимических производств. - М.: Лесная промышленность, 1985.

41. Глебов Л.А., Веденьев, В,Ф, Тарутин В.П. и др. Технологическое оборудование предприятий хлебопродуктов. Метод. указания. Изд-во МГУПП, 2006.

42. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973.

43. Соколов В.И. Центрифугирование. М.: Химия, 1976.

44. Верещагин В.П., Левитов В.И., Мирзабекян Г.З., Пашин М.М. Основы электро-газодинамики дисперсных систем. М.: Энергия, 1974.

45. Семёнов Е.В., Рогов И.А., Илюхин В.В., Бабакин Б.С. К вопросу об электросепарации биологических продуктов в потоке воздуха //В сборнике научных трудов “Исследование процесса электросепарации и разработка конструкций электросепараторов”. Л.: 1981.

46. Семёнов Е.В., Бабакин Б.С. Электросепаратор для разделения многкомпонентного сырья биологического происхождения. // В сборнике научных трудов “ Исследования ТМИММП в области технологии и биохимии пищевых производств”. М.: 1986.

47. Рогов И.А., Бабакин Б.С. Выгодин В.А. Электрофизические методы в холодильной технике и технологи. М.: “Колос”, 1996.

48. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. М.: Энергия. 1971.

49. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: «Энергия», 1973.

50. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

51. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: «Мир», 1988.

52. Бражников А.М., Карпычев В.А., Пелеев А.И. Аналитические методы исследования процессов термической обработки мясопродуктов. М.: Пищевая промышленность, 1974.

53. Birks J., Bradley. The rate of Evaporation of Droplets // Proc. Roy. Soc., 1949, A198. № 1053. Р. 226.

54. Monchik L., Reiss H. Studies of Evaporation of Small Drops // J. Chem. Phys., 1954, 22. № 5. Р 839.

55. Knacke O, Stransky J.N. Nhe Mechnism of Evaporation //Progress in Met. Phys., 1956. Р. 202.

56. Фукс Н.А. Рост и испарение капель в газообразной среде.- Изд-во СН СССР, 1958.

57. Лыков А.В., Шейман В.А., Куц П.С. Приближенный метод расчёта температуры материалов в процессе сушки //Тепло- и массоперенос.- К.: Наукова Думка, 1968.

58. Gerard V., Watzell. Untersuchung von Trofenbahnen in umgelenkten Stromungen in Trockern //VDI, Torschungsheft, 1970. № 5. S. 1.

59. Долинский А.А., Малецкая К.Д., Шморгун В.В. Кинетика и технология сушки распылением. К.: Наукова Думка, 1984.

60. Долинский А.А., Иваницкий Г.К. Оптимизация процессов распылительной сушки. К.: Наукова Думка, 1984.

61. Монова Л.В. Метод расчёта динамики твёрдых частиц в ограниченном пространствае при произвольной аэродинамике несущег потока. Конвективный тепообмен и гидродинамиеа. Сб. научн. трудов АН УССР. Ин-тут технической теплофизики. К.: Наукова Думка, 1984.

62. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1986.

63. Семёнов Е.В., Бурыкин А.И. // Теор. основы химической технологии. К расчёту эффективности процесса коагуляции тонкой взвеси в потоке ТОХТ, т. 41, № 3, 2007. С. 319.

64. Новосёлов Н.С. Аналитическая механика систем с переменными массами. -Л: Изд. ЛГУ, 1969.

65. Бабуха В. Л., Стернин Л. Е. Шрайбер А. А.Расчёт двухфазных потерь в соплах при наличии коагуляции и дробления капель конденсата// Изв. АН СССР, МЖГ, 1971. № 1. С. 175.

66. Бабуха В. Л., Шрайбер А. А. Взаимодействие частиц полидисперсного материала в двухфазных потоках. Киев. “Наукова думка”, 1972.

67. Подвысоцкий А. М., Шрайбер А. А. Расчёт неравновесного двухфазного течения с коагуляцией и дроблением частиц конденсата при произвольном распределении вторичных капель по массам и скоростям // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 2. С. 71.

68. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

69. Семёнов Е.В. Анализ кинетики коагуляции частиц в потоках. // Коллоидный журнал, 1998, т. 60. № 3. С. 409.