Распределение температуры в зависимости от времени внутри моделирующей продукт пластине

Дифференциальное уравнение теплопроводности в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид [50]

(3.1.8)

где = а - коэффициент температуропроводности.

Начальное условие:

= Т₀; Т₀ < Т_х, Т_г. (3.1.9)

Граничные условия:

(3.1.10)

(3.1.11)

(3.1.12)

(3.1.13)

где Т_г, Т_х - соответственно, температура горячей и холодной стенки, Н = a/l - относительный коэффициент теплообмена, 1/м; a - коэффициент теплообмена (теплоотдачи), Вт/(м²×К); l - коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К).

В силу симметрии распределения температуры в пластине относительно осей у и z граничные условия (3.1.12), (3.1.13) заменяем на

¶Т(х, 0, z, t)/¶у = 0, (3.1.14)

(3.1.15)

¶Т(х, y, 0, t)/¶z = 0, (3.1.16)

(3.1.17)

Имея в виду, что в реальных условиях обработки холодом мясных продуктов величина (Т_г/Т_х) близка к единице, следуя методологии [2], распределение температуры в ограниченной пластине, занимающей объём 0 £ x £ l , -R₂ £ y £ R₂, -R₃ £ z £ R₃, можно приближенно рассматривать как решение поставленной задачи в виде произведения решений для трёх неограниченных пластин 0 £ x £ l , 0 £ y £ R₂, 0 £ z £ R₃, т.е.

(3.1.18)

где Т_с » (Т_г + Т_х)/2, Т(х,t), Т(y,t), Т(z,t) - температуры соответствующих пластин.

При этом температурные поля в таких пластинах удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям (3.1.8), начальным условиям (3.1.9) и граничным условиям (3.1.10), (3.1.11), (3.1.14) – (3.1.17).

Проведём расчёт температурных полей последовательно по каждой из неограниченных пластин.

1. Температура в пластине 0 £ x £ l, -¥ £ y £ ¥, -¥ £ z £ ¥

Требуется решить уравнение

(3.1.19)

с граничными

Т(0,t) = T_х, , (3.1.20)

. (3.1.21)

и начальным условиями

T(x,0) = T₀, 0 < x < l. (3.1.22)

Ведением временно переменной u = T - T_х – b×x, где

b = H×DТ_гх/(1+Hl) = (Bi/l)×DТ_гх/(1+Bi), DТ_гх = Т_г - T_х > 0, (3.1.23)

Bi = Hl - критерий Bi, краевая задача (3.1.19) - (3.1.22) сводится к соответствующей однородной краевой задаче для u:

(3.1.24)

u(0,t) = 0, , (3.1.25)

(3.1.26)

u(x,0) = u₀(x), (3.1.27)

где

u₀(x) = -DТ_x0 - b×x < 0, DТ_x0 = T_хол - T₀ = T_х - T₀ > 0, 0 < x < l.( 1.28)

Решение краевой задачи (3.1.24) – (3.1.28) отыскивают по методу расщепления переменных, для чего полагают

u(x,t) = X(x)×T(t), (3.1.29)

причём,

и поэтому, согласно (3.1.29), будем иметь

= (3.1.30)

На базе (3.1.30) получают два обыкновенных дифференциальных уравнения

Т¢(t) + a²l²Т(t) = 0, (3.1.31) X¢¢(х) + l²Х(х) = 0. (3.1.32) В соответствии с (3.1.25), (3.1.26) для Х(х) имеют граничные условия

Х(0) = 0, (3.1.33)

Х¢(l) = -H×Х(l). (3.1.34)

Общим решением уравнения (3.1.32) является

Х(х) = С₁sinlх + С₂соslх. (3.1.35)

Согласуя (3.1.33) с (3.1.35), имеем С₂ = 0 и поэтому,

Х(х) = Сsinlх, (3.1.36)

где С = С₁.

На основе (3.1.34), (3.1.36), имея в виду, что Х¢(l) = Сlcosll, Х(l) = Сsinll, для определения l получают характеристическое уравнение

l_n = - H×tgl_nl

или

tgl_nl = - l_nl/Bi, n = 1,2. . .

или

tgm_n = -m_n/Bi, (3.1.37)

где m_n = l_nl, Bi = Hl - критерий Био, n = 1,2,. . .

В результате, в соответствии с (3.1.36), (3.1.37) получим

Х_n(х) = С_nsinl_nх. (3.1.38)

В свою очередь, решением уравнения (3.1.31) является

Т_n(t) = B_nexp(-a²l_n²t). (3.1.39)

Таким образом, согласно (3.1.29), (3.1.38), (3.1.39) общее решение дифференциального уравнения (3.1.24) имеет вид

u(x,t) = (3.1.40)

где А_n = B_n×С_n.

Подставляя (3.1.40) в (3.1.28), имеют

u(x,0) = u₀(x) = -DТ_x0 - bx = (3.1.41)

где, согласно (3.1.41), [50]

A_n = A_n1 + A_n2,

где - корень характеристического уравнения (3.1.37).

Таким образом, в соответствии с (3.1.23), (3.1.40) окончательно получим

T_с - T(х,t) = DT_сх - u(х,t) – bх, (3.1.42)

где DT_сх = T_с- Т_х > 0, u(x,t) рассчитывается по (3.1.40).

II. Температура в пластине 0 £ y £ R₂, -¥ £ х £ ¥, -¥ £ z £ ¥

Требуется найти решение уравнения

(3.1.43)

удовлетворяющее граничным условиям первого и второго рода

(3.1.44)

¶Т(0,t)/¶у = 0, (3.1.45)

а также начальному условию

T(у,0) = T₀, 0 < у < R₂. (3.1.46)

Введением временно переменной u = T - T_с, краевая задача (3.1.43) - (3.1.46) снова сводится к соответствующей однородной краевой задаче для u:

a² (3.1.47)

u(R₂,t) = 0, , (3.1.48)

. (3.1.49)

u(y,0) = -DТ_х0 = -( T_х - T₀) < 0, 0 < y < R₂. (3.1.50)

Применяя для решения краевой задачи (3.1.47) – (3.1.50) снова процедуру расщепления переменных, полагают

u(y,t) = Y(y)×T(t) (3.1.51)

и поэтому на базе (3.1.47), (3.1.51) приходят к двум дифференциальным уравнениям

Т¢(t) + a²l²Т(t) = 0, (3.1.52) Y¢¢(y) + l²Y(y) = 0. (3.1.53) В соответствии с (3.1.48), (3.1.49) для Y(y) имеют граничные условия

Y(R₂) = 0, (3.1.54)

Y¢(0) = 0. (3.1.55)

Общим решением уравнения (3.1.53) является

Y(y) = С₁соsly + С₂sinly (3.1.56)

и поэтому

Y¢(y) = l(-С₁sinly + С₂cosly). (3.1.57)

Согласуя (3.1.55) с (3.1.57), имеем С₂ = 0 и поэтому,

Y(y) = Ссоsly, (3.1.58)

где С = С₁.

На основе (3.1.54), (3.1.58) находят собственное значение краевой задачи

l_n = p(2n - 1)/(2R₂), n = 1,2. . . (3.1.59)

В результате, в соответствии с (3.1.58) получают

Y(y) = С_nсоsl_ny, (3.1.60)

где l_n вычисляется по (3.1.59).

В свою очередь, решением уравнения (3.1.52) является

Т_n(t) = B_nexp(-a²l_n²t). (3.1.61)

Таким образом, согласно (3.1.60), (3.1.61), (3.1.51) общее решение уравнения (3.1.43) имеет вид

u(x,t) = (3.1.62)

где А_n = B_n×С_n.

Подставляя (3.1.62) в (3.1.50), имеют

u(y,0) = -DТ_х0 = (3.1.63)

где, согласно (3.1.63)

(3.1.64)

Таким образом, в соответствии с (3.1.62), (3.1.64) получим

T_с - T(y,t) = -u(y,t) =

= (3.1.65)

где = Т₀ – Т_х < 0.

III. Температура в пластине 0 £ z £ R₃, -¥ £ х £ ¥, -¥ £ у £ ¥

Поскольку форма продукта считается симметричной относительно плоскостей координат у = 0 и z = 0, то поле температур в неограниченной пластине 0 £ z £ R₃ аналогично по форме (3.1.65), с заменой переменной у на z и R₂ на R₃, т.е.

T_с - T(z,t) = = (3.1.66)

В результате решение поставленной задачи записывают в виде

(3.1.67)

где вычисляются в соответствии с зависимостями (3.1.42), (3.1.65), (3.1.66), h - согласно (3.1.67).

Таким образом, распределение температуры в продукте как теле формы прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2R₁ = l, 2R₂, 2R₃, полностью найдено.

Для определения удельного расхода тепла находят среднюю температуру пластины по формуле [50]

(3.1.68)

где вычисляют согласно (3.1.67).

При нахождении входящих в (3.1.42), (3.1.65), (3.1.66) определённых интегралов пользовались формулами:

=

где m_n является корнем характеристического уравнения (3.1.37), а также

Имея в виду, что для немалых значений времени t в рядах (3.1.42), (3.1.65), (3.1.66), сходимость рядов достаточно быстрая [50] , как часто поступают, ограничимся лишь одними слагаемыми в рядах, т.е. полагаем:

= » (3.1.69) T_с - T(y,t) » (3.1.70) T_с - T(z,t) » (3.1.71) В качестве исходных физико-механических параметров задачи принимали (как для мяса): теплоёмкость с = 4 кДж/(кг×К), плотность g = 1200 кг/м³, теплопроводность l = 0,5 Вт/(м×К), температуропроводность а² = l/(с×g) = 0,5/(4×10³×1200) » 10^-7 м²/с [52].

Из анализа приведенных на рис. 3.1.5 результатов расчётов осреднённого по объёму продукта значения температуры от времени проведения процесса теплопередачи при различных величинах критерия Bi вытекают естественные возрастающие, но с всё меньшей скоростью (что обусловлено выравниваем температуры воздушной среды и продукта) зависимости температуры как по времени t, так и по критерию Bi.

а)

3

2

1

б)

3

2

1

Рис. 3.1.5. Зависимость осреднённой по объёму температуры (К) продукта от времени (с) и критерия Bi, (а - при l = 0.25 м; R₂ = R₃ = 0.25 м (прямоугольный параллелепипед); б – при l = 0.50 м; R₂ = R₃ = 0.25 м (куб); 1 - Bi = 0.1; 2 - Bi = 0.3; 3 - Bi = 0.5)

Пусть a = 0.28 Вт/(м²×К), l = 0.5 Вт/(м×К), l = 0.50 м, R₂ = R₃ = 0.25 м, тогда Bi = a×l /l = 0.28×0.5/0.5 » 0.3. Из графика на рис. 3.1.5 вытекает, что для блока мяса в виде куба с размерами l = 0.50 м; R₂ = R₃ = 0.25 м осреднённая по объёму продукта температура (для Bi = 0.3) за время 10⁵ с » 27.8 ч возрастает на 5 К, с 266 К до 271 К.

С целью рассчитать зависимость осреднённого по площади правой боковой грани продукта удельного теплового потока от горячей стенки к продукту воспользуемся формулой

q = - l = -l (3.1.72)

где входящие в выражение (3.1.72) справа функционалы вычисляются в соответствии с формулами (3.1.69) - (3.1.71). При этом расчёты проводили в системе Matchad в символьном виде.

3

2

1

Рис. 3.1.6. Зависимость осреднённого по площади боковой грани продукта удельного теплового потока (Вт/м²) от горячей стенки к продукту в виде куба с рёбрами по 0,50 м, от времени (с) и критерия Bi

( 1 - Bi = 0.1; 2 - Bi = 0.3; 3 - Bi = 0.5)

Как следует из анализа результатов вычислений, обобщенных в виде графиков на рис. 3.1.6, осреднённая величина удельного теплового потока q от горячей стенки к продукту естественным образом убывает по времени проведения процесса теплопередачи. Так, при Bi = 0,3 согласно расчёту в связи с выравниваем температуры воздушной среды и продукта значение q уменьшается от 32 до 12 Вт/м².