Движение в восходящем воздушном потоке заряженной частицы мясокостного сырья в индуцированном электрическом поле постоянной напряжённости, с учётом кинетики зарядки

Поскольку исследуемый процесс сепарирования смеси под действием сил электростатического поля и других сил осложнен многими факторами, то количественное моделирование данного процесса, помимо принятых выше допущений, может быть осуществлено лишь при дополнительной схематизации рассматриваемого явления.

При этом в качестве упрощающих предположений, полагаемых в основу схемы процесса электросепарирования смеси в потоке воздуха, будем использовать допущения, не сильно искажающие реальную картину протекания исследуемого явления. А именно, будем считать, что концентрация частиц в потоке воздуха не настолько велика, чтобы cущественно ухудшить условия разделения смеси, т.е. кинематику отдельной частицы можно полагать не зависящей от движения коллектива соседних частиц. Кроме того, предполагаем, что основной поток (поток воздуха) одномерный, а распределение скорости воздуха по поперечному сечению потока незначительно отличается от расходной скорости его. Принимая во внимание, что в процессе сепарирования смеси размеры разделяемых частиц имеют величину порядка мм, при скорости потока воздуха порядка м/с, в реальных условиях кинетика частиц в рабочем объеме воздушного сепаратора протекает при немалом значении числа Рейнольдса. Поэтому в качестве закона сопротивления движению частицы со стороны потока воздуха может быть принят квадратический по местной (относительной) скорости частицы в потоке.

Рис. 2.3.1. Схема траекторий в восходящем воздушного потоке частиц целевого продукта и аэроотделимых примесей в вертикальном канале

электростатического сепаратора

При исследовании поставленной задачи оси координат выбираем естественным путем, направляя ось у вверх, против силы тяжести, а ось х – по направлению силы Кулона - перпендикулярно оси у (рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.2. Схема сил, действующих на частицу в потоке воздуха

Поскольку на частицу в потоке воздуха действуют сила тяжести G и сила сопротивления F_c (рис. 2.3.2), то согласно основному закону динамики для точки справедливо уравнение [45]

mdV/dt = G + F_к + F_c, (2.3.1)

где m – масса частицы, кг; t – время, с; G = {0, -mg} - вектор силы тяжести, g - ускорение свободного падения, м/с²; F_к = Еq - сила Кулона, Е - напряжённость электрического поля, В/м; q – заряд частицы, Кл; F_c = -k₁V_отнV_отн, - вектор силы сопротивления воздуха, Н; k₁ = 0,5_вс_уS – коэффициент пропорциональности, _в – плотность воздуха, кг/м³; с_у - аэродинамический коэффициент сопротивления; S – площадь проекции частицы на плоскость, нормальную направлению ее движения, м²; V = {V_x, V_y} - вектор скорости частицы, V_отн = v = V – U, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, V_отн – вектор местной скорости частицы, м/с.

Если плотность объёмного заряда частицы постоянна, частица имеет сферическую форму диаметром d, а электрическое поле индуцируется коронным электродом, то заряд сферической частицы размером не менее 2 мкм рассчитывают по формуле Потенье

(2.3.2)

где  - диэлектрическая проницаемость материала частицы; е – заряд электрона, Кл; n₀ - концентрация ионов, 1/м³;  – подвижность ионов, м²/(Вс).

В таком случае силу Кулона можно представить в виде [46]

F_к = q_mt/(t + t_з)i, (2.3.3)

где i – единичный орт оси х,

q_m = t_з = (2.3.4)

Проецируя векторное уравнение (2.3.1) на оси координат, c учётом (2.3.2) - (2.3.4) получим

mdV_x/dt = q_mt/(t + t_з) - k₁V_xv , (2.3.5)

mdV_y/dt =-mg – k₁(V_y - U) v . (2.3.6)

Имея в виду, что v = [V_x² + (V_y - U)²]^1/2, согласно уравнениям (2.3.5), (2.3.6) будем иметь

dV_x/dt = q_удt/(t + t_з) - kV_x[V_x² + (V_y - U)²]^1/2, (2.3.7)

dV_y/dt =-g – k(V_y - U) [V_x² + (V_y - U)²]^1/2. (2.3.8)

где q_уд = q_m/m - удельный заряд, Кл/кг; k = k₁/m – множитель пропорциональности силы сопротивления воздуха, 1/м.

Считая, что обрабатываемая сыпучая смесь подаётся в рабочий канал сепаратора под углом  со скоростью V₀, решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.3.4), (2.3.5) согласуем с начальным условием (рис. 2.3.1)

V_x = V₀Cos, V_y = V₀Sin при t = 0. (2.3.9)

В простейшем случае, когда горизонтальная составляющая начальной скорости V_x0 частицы невелика, и движение ее (при немалом значении U) развивается в основном в вертикальном направлении, на основе уравнения (2.3.8) может быть дана примерная оценка величины скорости витания частицы. Для чего, пользуясь неравенствами V_x < v, (V_x² + v²)^1/2  v = - v > 0, а также условием dV_у/dt = 0, приходим к приближенному уравнению

-g – kv(V_x² + v²)^1/2  -g + kv² = 0,

откуда, выбирая отрицательное значение корня, следует выражение скорости витания частицы

v = -[2mg/(_вс_уS)]^1/2,

или, при условии, что частица имеет сферическую форму,

v = -[4_тdg/(3_вс_у)]^1/2,

где _т – плотность частицы, кг/м³; d - диаметр частицы, м.

Принимая, ориентировочно, d = 0.002 м, _п = 1200 кг/м³; _в = 1.3 кг/м³; с_у = 1, получим приближенное значение скорости витания

v = -[412000.0029.8/(31.31)]^1/2 = -4.92 м/с,

что близко к значению (по модулю) скорости потока воздуха U = 6 м/с.

Поскольку система уравнений (2.3.7), (2.3.8) является нелинейной относительно искомых проекций скорости V_х и V_у, то ее решение может быть найдено лишь численным методом.

Для того чтобы получить зависимости, позволяющие прогнозировать результаты сепарирования смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, необходимо иметь, даже если и упрощенное, но аналитическое решение задачи (2.3.7) - (2.3.9) по проекциям скорости частицы и ее координатам. С помощью численного моделирования (в критериальной форме) задачи Коши (2.3.7) - (2.3.9), на базе стандартных процедур, в области реальных значений параметров процесса было выявлено, что неравенство V_x² < (V_y - U)² обычно выполняется. Поэтому, имея в виду, что U - V_у > 0, вместо уравнений (2.3.7), (2.3.8) можем приближенно записать

dV_x/dt = q_удt/(t + t_з) - kV_xV_y - U, (2.3.10)

dV_y/dt =-g – k(V_y - U) V_y - U. (2.3.11)

Вводя скорость w = V_y – U  0 (v  0) витания частицы, и учитывая, что V_x > 0, системе уравнений (2.3.7), (2.3.8) придаем форму

dV_x/dt = q_удt/(t + t_з) + kV_xw, (2.3.12)

dw/dt =-g + kw². (2.3.13)

При этом начальные условия (2.3.9) по проекциям скорости частицы принимают вид

V_x = V_x0 = V₀Cos, w = w₀ при t = 0, (2.3.14)

где w₀ = V₀Sin - U.

В уравнении (2.3.13) можно разделить переменные, преобразуя его к виду

откуда, интегрируя

В результате получаем первый интеграл

,

где С₂ = const,

или

(2.3.15)

где для упрощения расчётов введены обозначения а = ,

Исходя из (2.3.14), (2.3.15) находим

(2.3.16)

где обозначено с = ê(b + w₀)/(b - w₀) ê.

И поэтому, в соответствии с (2.3.16)

V_y = U + w = U + (2.3.17)

Подставляя (2.3.17) в уравнение (2.3.12), будем иметь

или

(2.3.18)

Уравнение (2.3.18) представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно V_х по переменной t, общим решением которого является [38]

V_х =

или, после интегрирования в тех членах, где это допускается

V_х = exp{kb[t – (2/a)ln c + exp(at)]}

( q_уд [t/(t + t_з)]exp{-kb[t – (2/a)ln c + exp(at)]dt} + C₁), (2.3.19)

где C₁ - произвольная постоянная.

Согласуя (2.3.19) с (2.3.14), находим частное решение – выражение проекции на ось х скорости частицы

V_х = V_х0 + exp(kbt)/[c + exp(at)]^2/a] 

( q_удt/(t + t_з)exp{-kb[t – (2/a)ln c + exp(at)]dt }. (2.3.20)

Проводя в формуле (2.3.20) потенцирование, будем иметь

V_х = V_х0 + exp(kbt)/[c + exp(at)]^2/a] 

(q_уд t/(t + t_з)exp(-kbt) [c + exp(at)]^2/a] dt

или, c учётом того, что kb = а/2

V_х = V_х0 + q_удexp(at/2)/[c + exp(at)]^2/a] 

(  t/(t + t_з)exp(-at/2) [c + exp(at)]^2/a] dt. (2.3.21)

Поскольку V_x = dx/dt, V_у = dу/dt, на основе (2.3.17), (2.3.21) могут быть найдены зависимости декартовых координат частицы от времени

х(t) =  V_хdt + С₃, (2.3.22)

у(t) =  V_уdt = (U +

= Ut + (2b/a)ln[(с + 1)e^at/2/(c + e^at)] + С₄, (2.3.23)

где С₃, С₄ - произвольные постоянные, V_х - рассчитывается по (2.3.21).

При этом следует отметить, что входящие в (2.3.21), (2.3.22) интегралы по переменной t являются неберущимися.

Удовлетворяя общее решение (2.3.22), (2.3.23) начальным условиям

х = 0, у = 0 при t = 0,

приходим к выражению уравнения траектории частицы в параметрической по времени t форме

х(t) =  V_хdt, (2.3.24)

у(t) = Ut + (1/k)ln[(с + 1)e^at/2/(c + e^at)]. (2.3.25)

Несмотря на то, что согласно (2.3.21), (2.3.22) выражение х(t) по (2.3.24) вычисляется как неявная двойная квадратура по переменной t, с помощью (2.3.24), (2.3.25), в принципе, могут быть количественно промоделированы зависимости координат х и у от времени t. Однако эффективно прогнозировать результаты сепарирования частиц взвеси в восходящем воздушном потоке в электростатическом поле можно лишь располагая выражением связи между переменными х и у, пусть и в неявной, форме, а также визуализируя траектории частицы в рабочем объёма аппарата. Как видно, даже из (2.3.25) в явной форме невозможно найти зависимость t от у. Для того чтобы получить численным путём зависимость у = у(х) выражаем сначала, как неявный корень по t трансцендентного уравнения (2.3.24), в зависимости от х, т.е. находим t = t(x). Затем найденную в виде корня (2.3.24) зависимость t = t(x) подставляем в (2.3.25). Если выполнять данную вычислительную процедуру, например, в такой операционной системе как MATCHAD [34], то выкладки, связанные с получением зависимости t = t(x) в символьном виде можно осуществлять используя оператор-функцию root. Таким образом, для того чтобы найти зависимость у = у(х) при расчётах приходится прибегать к трём неявным итерациям, что связано, при количественном моделировании поставленной задачи, с заметной, но допустимой, затратой машинного времени.

Рис. 2.3.3

Схема к обоснованию траектории частицы критическим диаметром

На базе формул (2.3.17), (2.3.19), (2.3.24), (2.3.25) может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала электросепаратора.

Эффективность процесса разделения смеси по каждой из входящих в неё фаз зависит от величины так называемого критического диаметра d_кр некоторой гипотетической частицы, совершающей заданную условную траекторию ОВ (рис. 2.3.3), соединяющую точки О(0,0), В(L, 0) в рабочем объёме сепарирующей машины. При этом согласно определению понятия критического диаметра d_к частицы, размером больше d_к, отводятся вниз, а размером меньшим d_к - уходят с потоком воздуха в относ. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания w_к частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в относ.

Таким образом, критический диаметр определяется на основе решения относительно d_кр и Т (где Т - время осаждения частицы на стенке x = L) системы двух полученных на базе (2.3.24), (2.3.25) трансцендентных уравнений

L = dt (2.3.26)

UT + (1/k)ln[(с + 1)e^aT/2/(c + e^aT)] = 0. (2.3.27)

Поскольку решение данной задачи практически не реально по объёму машинного времени, то критический диаметр d_кр определяют путём визуализации траекторий частиц на основе их количественного моделирования.

При анализе особенностей поведения частиц измельчённого мясокостного сырья, включающего такие компоненты как мясо, кость, жир, хрящи, губчатое вещество следует иметь в виду различие их физико-механических свойств, отражённых таб. [2]

Таблица 2.3.1

Параметры	Компоненты сырья
	Мясо	Кость	Жир	Хрящ	Губчатое вещество
qуд, Кл/кг	710-6	10-6	2.510-6	4.310-6	1.510-6
п, кг/м3	1068	1653	924	1289	1186

Наряду с имеющим место, согласно данным табл. 2.3.1, значительным отклонением величин физико-механических параметров мясокостного сырья, в результате измельчения мяса образуются частицы, cущественно отличающиеся по форме – от близкой к сферической до пластинчатой формы. Что отражается в величине входящего в выражение силы F_c сопротивления движению частицы коэффициента сопротивления с_у. В дальнейшем с целью сопоставить результатов расчетов по количественному моделированию кинетики смеси из частиц мясокостного сырья в электросепараторе будем предполагать, что все частицы смеси имеют сферическую форму с диаметром d. Причем, частицы сырья по форме приближающиеся к сфере будем характеризовать значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_уs = 0.8 (условно - тяжелый компонент смеси, целевой продукт), а частицы, сильно отличающиеся от сферы (к ним можно отнести мясо, жир кость, хрящ, губчатое вещество), значением с_уl = 1.2 (условно - легкий компонент смеси, примеси). Что близко к имеющим место данным величинам в практических условиях [48]. Количественное моделирование по тяжёлому и лёгкому компонентам смеси для характерных для исследуемого процесса значениям параметров отражено на рис. 2.3.4, 2.3.5.

Рассмотрим пример. Пусть плотность частицы _п = 1200 кг/м³; плотность воздуха _в = 1.3 кг/м³; ширина канала L = 0.2 м; скорость потока воздуха U = 6 м/с, напряжённость электрического поля Е = 210⁵ В/м, скорость подачи смеси V₀ = 0.5 м/с; угол подачи смеси  = - 45. Требуется определить при заданных параметрах процесса критический диаметр частицы замороженного мясокостного сырья, а именно, кости. Поскольку кость условно отнесена к лёгкому компоненту смеси, то принимаем коэффициент сопротивления с_уl = 1.2. Сравнивая графики рис. 2.3.5, заключаем, что наиболее близкое положение к критической траектории занимает кривая 4, соответствующая диаметру частицы d = 2 мм. По-видимому, критический диаметр частицы лежит в интервале 2 мм < d_кр < 3 мм. Это означает, что согласно расчёту частицы кости размером больше 3 мм осядут, т.е. уйдут в зону целевого продукта.

Помимо этого из анализа графиков на рис. 2.3.4, относящихся к исследованию поведения тяжелых частиц (коэффициент сопротивления с_уs = 0.8) крупностью d = 10^-3 м, видно, что (кривые 1, 2) при сила тяжести частицы превалирует над силой сопротивления движущегося со скоростью U = 3 м/с воздушного потока и поэтому частицы осаждаются (условно – в зону целевого продукта). Причём, вследствие меньшего воздействия электрического поля на частицу в направлении оси х (при Е = 10⁵ В/м) - по более крутой траектории, и более пологой – результате более интенсивного воздействия на частицу в том же направлении (при Е = 210⁵ В/м). В свою очередь, сила сопротивления перемещающегося со скоростью U = 6 м/с воздушного потока превышает силу тяжести, в результате чего частицы того же размера уходят в относ (условно – в зону примесей) – по траекториям, имеющим те же особенности по крутизне в зависимости от интенсивности электрического поля.

Графики на рис. 2.3.4 показывают, что при скорости U = 6 м/с воздушного потока частицы диаметром d = 210^-3 м осаждаются в зону целевого продукта, а частицы меньшего диаметра d = 10^-3 м - уходят с потоком воздуха в относ в зону примесей. Что обусловлено большей относительной “парусностью”, как отношения миделевого сечения частиц к их весу, частиц меньшего размера, и, следовательно, относительно большим значением силы сопротивления движению частицы со стороны воздушного потока. При этом характер кривизны траекторий в зависимости от напряжённости электрического поля такой же, как и по рис. 2.3.4 а.

а

4

3

2

1

б

3

4

2

1

в

4

3

2

1

Рис. 2.3.4

Зависимости ординаты у (м) частицы от её абсциссы х (м) при плотности частицы ₁ = 1200 кг/м³, коэффициенте сопротивления с_у = 0.8 (“тяжёлые частицы”)

(а: d =1 мм; 1 - U = 3 м/с, Е = 10⁵ В/м ; 2 - U = 3 м/с, Е = 210⁵ В/м; 3 - U = 6 м/с, Е = 10⁵ В/м; 4 - U = 6 м/с, Е = 210⁵ В/м;

б: U = 6 м/с; 1 - d = 1 мм, Е = 10⁵ В/м; 2 - d = 1 мм, Е = 210⁵ В/м; 3 - d = 2 мм, Е = 10⁵ В/м; 4 - d = 2 мм, Е = 210⁵ В/м;

в: Е = 10⁵ В/м; 1 - d = 1 мм, U = 3 м/с; 2 - d = 1 мм, U = 6 м/с; 3 - d = 2 мм, U = 3 м/с; 4 - d = 2 мм, U = 6 м/с)

По виду кривых на рис. 2.3.4, в, можно заключить, что в условиях постоянной напряжённости Е = 10⁵ В/м электрического поля в рабочем объёме сепаратора в движущемся со скоростью U = 3 м/с воздушном потоке частицы крупностью d = 10^-3 м опускаются (уходят в зону целевого продукта), а в движущемся с большей скоростью U = 6 м/с потоке воздуха частицы того же размера поднимаются – уходят в зону примесей. В то время как более крупные частицы диаметром d = 210^-3 м в расчётном диапазоне изменения скоростей движения воздуха U = 3 . . . 6 м/с – опускаются.

Все отмеченные по количественному и качественному анализу особенностей кинематики частиц в рабочем объёме сепаратора находятся в соответствии с физическим смыслом исследуемого процесса.