4. Числові проміжки

Нерівність

Зображення

Позначення

Словесне формулювання

закритий проміжок (відрізок) із кінцями а і b

відкритий проміжок (інтервал) із кінцями а і b

напіввідкритий проміжок (півінтервал) із кінцями а і b

нескінченний проміжок (промінь)

или R

Множина всіх дійсних чисел, числова пряма

Означення

Приклади

5. Рівносильні нерівності

5.1

Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто будь-який розв’язок однієї з нерівностей є розв’язком другої нерівності, і навпаки.

і ;

і ;

і

5.2

Теореми про рівносильність перетворень нерівностей

1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини нерівності, які не змінюють допустимі значення змінної, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.

2. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданки з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну поданій.

3. Якщо обидві частини нерівності поділити або помножити на одне й те саме додатне (від’ємне) число, не змінивши (змінивши) знака нерівності, то дістанемо нерівність , рівносильну поданій.

Покажемо приклади використанні теорем про рівносильність при розв’язуванні нерівностей.

1. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Відповідь: .

2. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання

Відповідь: .

Означення

Приклади

6. Лінійна нерівність з однією змінною

6.1

Лінійною нерівність з однією змінною називається нерівність виду ( ).

6.2

Схема розв’язання лінійної нерівності

, тоді

1) Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Відповідь:

2) Розв’язати нерівність

.

Розв’язання

Виконаємо тотожні перетворення обох частин нерівності. Дістанемо нерівність, рівносильну поданій:

.

Використавши теореми про рівносильність, запишемо рівно-сильну нерівність та розв’яжемо її за схемою:

Відповідь:

6.3

Розв’язування лінійних нерівностей

1. Якщо нерівність містить дроби, необхідно обидві частини нерівності помножити на НСК їх знаменників.

2. Якщо в нерівності є дужки, розкриваємо їх.

3. Переносимо доданки, що містять змінну, в одну частину нерівності (як правило, в ліву), а доданки, що не містять змінної, - в іншу частину (як правило, в праву).

4. Зводимо подібні доданки.

5. Якщо отримали лінійну нерівність і коефіцієнт при змінній не дорівнює нулю, то ділимо на нього обидві частини нерівності.

6. Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, то нерівність або не має розв’язків, або її розв’язком є будь-яке число.

Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Помножимо обидві частини нерівності на НСК(6;9)=18. Оскільки множимо обидві частини нерівності на додатне число, то знак нерівності не змінюється.

Відповідь:

6.4

Розв’язування систем нерівностей з однією змінною

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називається значення змінної, при якому виконується кожна з нерівностей системи.

Розв’язати систему нерівностей – означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

До систем нерівностей зводиться розв’язування подвійних нерівно-стей.

Схема розв’язання системи нерівностей

1. Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність системи привести до виду лінійної нерівності з однією змінною.

2. Знайти розв’язок кожної з нерівностей.

3. Знайти переріз проміжків, що є розв’язками нерівностей системи.

4. Записати відповідь.

1. Розв’язати систему нерівностей

.

Розв’язання

Відповідь:

2. Розв’язати подвійну нерівність

.

Розв’язання

Відповідь:

6.5

Схема розв’язання сукупностей нерівностей з однією змінною

1. Шляхом виконання рівносильних перетворень кожну нерівність сукупності звести до виду лінійної нерівності з однією змінною.

2. Знайти розв’язок кожної нерівності сукупності.

3. Знайти об’єднання проміжків, які є розв’язками кожної з нерівностей сукупності.

4. Записати відповідь.

Розв’язати сукупність нерівностей

.

Розв’язання

.

Відповідь:

6.6

Розв’язування нерівностей з модулем

1. Нерівність виду

2. Нерівність виду

1. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною їй системою нерівностей:

Відповідь:

2. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Оскільки , то нерівність не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

3. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Виходячи з геометричного змісту модуля, замінимо нерівність рівносильною сукупністю нерівно-стей:

Відповідь:

4. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Виходячи зі схеми, маємо: , звідки .

Відповідь: