Задача 3 Условие:

За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 20, 22 или 24 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 3 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

1. Придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

2. Вычислить элементы платежной матрицы;

3. Дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности , , потребности мазута в количестве 20, 22, 24 весовых единиц известны. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

, ,

б) вероятности потребности мазута в количествах 20, 22, 24 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах, 20, 22, 24 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величина параметра в критерии Гурвица задается)

Решение:

1 В рассматриваемой ситуации в качестве статистика А выступает руководство ТЭЦ, заинтересованное в минимизации затрат на приобретение мазута. Вторым игроком является «природа» – совокупность объективных факторов, благодаря которым потребление мазута может быть различным.

Приобретая мазут, руководство ТЭЦ может ориентироваться на его потребление: либо 20 весовых единиц (первая чистая стратегия ),либо 22 (вторая чистая стратегия ),либо 24 (третья чистая стратегия ).

«Природа» (совокупность объективных неопределенных факторов) может реализовать состояния , и – необходимое потребление мазута20, 22 и 24 весовых единиц соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 3x3(см. Таблицу 5).

2 «Выигрышами» статистика А будут затраты, связанные с реализацией стратегий , и , которые являются элементами платежной матрицы. Рассчитаем их.

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута и столько же потребовалось для отопительного сезона. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 22 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 20 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 22-20=2 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 20 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 24 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 20 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 24-20=4 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 22 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 20 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 3 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 22 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. Запас мазута превысит потребности на 22–20=2 весовых единицы, затраты на хранение которых составят ден. ед. (стоимость хранения весовой единицы мазута равна 2 ден. ед.). Следовательно, .

Аналогично определяются остальные элементы платежной матрицы. Платежная матрица игры представлена в таблице 5:

Таблица 5

	(20)	(22)	(24)
(20)	–60	–68	–70	–70
(22)	–70	–66	–74	–74
(24)	–80	–76	–72	–80
	–60	–66	–70
	0,3	0,3	0,4

3. Для определения оптимальной стратегии воспользуемся различными критериями.

а) Оптимальной по критерию Байеса будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения:

и

.

б) Оптимальной по критерию Лапласа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш

достигает максимального значения:

И .

в) Оптимальной по критерию Вальда будет чистая стратегия , т.к. именно при ней наименьший выигрыш статистика будет максимальным (см. таблицу 5).

.

г) Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим матрицу рисков с элементами

(таблица 6)

Таблица 6

	(14)	(16)	(18)
(14)	0	2	0	2
(16)	10	0	4	10
(18)	20	10	2	20

Так,

и т.д.

Оптимальной по критерию Сэвиджа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней максимальный риск будет минимальным (см. таблицу 6)

.

д) Оптимальной по критерию Гурвица будет чистая стратегия , т.к. именно при ней величина

достигает максимального значения:

И .

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия . Правомерно ее и рекомендовать руководству ТЭЦ для реализации, т.е. закупить 20 весовых единиц мазута.