1.2 Метод весовых множителей.

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности (скалярные), .- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Для решения задачи многокритериальной оптимизации (1) широко используются методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации. Рассмотрим один из методов этой группы методов — метод весовых множителей.

В методе весовых множителей дополнительной информацией (относительно информации, заданной в постановке задачи (1)) является информация об относительной важности частных критериев. Метод требует, чтобы эта информация была формализована в значениях весовых множители . В этом случае в качестве скалярного критерия используется критерий

(2)

Т.е. вместо задачи (1) решается многомерная задача условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности (2)

(3)

Вектор , являющийся решением задачи условной оптимизации (3), принадлежит множеству Парето задачи (1), а обратное утверждение неверно — вектор , принадлежащий множеству Парето задачи (1), не обязательно удовлетворяет условию (3).

Существуют различные способы выбора весовых множители . Одним из таких способов является назначение коэффициентов в зависимости от относительной важности соответствующих частных критериев оптимальности, например, согласно табл. 1.

Таблица 1    

Относительная важность критерия	Определение относительной важности критериев
1	Равная важность
3	Умеренное (слабое) превосходство
5	Сильное (существенное) превосходство
7	Очевидное превосходство
9	Абсолютное (подавляющее) превосходство
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними оценками

Шкала относительной важности частных критериев.

Для того чтобы при выборе весовых множителей избавиться от влияния масштабов частных критериев оптимальности, в методе весовых множителей целесообразно использовать нормализованные критерии.

Дадим геометрическую интерпретацию метода. Введем в рассмотрение вектор . Тогда критерий оптимальности (2) можно записать в виде скалярного произведения

(4)

а задачу (3) в виде

(5)

Уравнение , где — некоторая константа, определяет в пространстве критериев гиперплоскость. При этом решение задачи (5) можно интерпретировать как поиск такого значения , при котором гиперплоскость будет касательной к множеству задачи (1). Компоненты вектора определяют искомую точку касания этой гиперплоскости с множеством (см. рис. 1). На рис. 1 для любой точки множества (дуга A,B) найдется вектор весовых множителей = (λ₁, λ₂, ... , λ_s), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Рис. 1.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество D_Ф выпукло.

Множество задачи (1) может быть не выпуклым. В этом случае не все точки множества могут быть достигнуты с помощью изменения весовых множителей (см. рис. 2). На рис. 2 ни для одной точки множества , принадлежащей дуге A₁B₁, невозможно найти вектор весовых множителей = (λ₁, λ₂, ... , λ_s), при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Рис. 2.  Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев; множество D_Ф не выпукло.