4. Аналіз стійкості заданої системи та визначення критичного значення коефіцієнта передачі регулятора, при якому система знаходиться на межі області стійкості.
Запишемо характеристичне рівняння системи :
a3p3+
a2
p2+
a1p+a0=
Запишемо визначник за правилом Гурвіца:
= 
= 
Мінори цього визначника будуть мати наступний вигляд :
М1=11,542
М2=а2а1-аоа3=
М3=32730,374
Оскільки а3>0 i M1>0, М2>0, М3>0, то за критерієм Гурвіца система є стійкою.
Знайдемо критичне значення коефіцієнта передачі регулятора. Для цього запишемо вираз для передаточної функції розімкнутої системи:
Приймемо
за критичний параметр коефіцієнт
передачі підсилювача:
- для замкнутої системи:
Запишемо
характеристичне рівняння системи :
Запишемо визначник Гурвіца:
=
Мінори цього визначника матимуть наступний вигляд:
М1=11,542
М2=а2а1-аоа3=
При М2=0 маємо:
Коли
ккр
(0;23,22)тоді
M2>0,
а отже, і М3>0
.
Дана система буде стійкою при ккр (0;23,22)при значені ккр=23,22
система буде знаходитись на межі області стійкості.
Висновок: під час виконання завдання я провів аналіз стійкості заданої системи та визначив критичне значеня коефіцієнта передачі регулятора(ккр=23,22), при якому система знаходиться на межі області стійкості.
5. Побудува годографа амплітудно-фазової характеристики розімкнутої системи і визначення запасу стійкості системи за амплітудою і фазою.
Запишемо передаточну функцію розімкненої системи:
Для
знаходження комплексної передаточної
функції введемо заміну
, передаточна функція набуде вигляду:
Так
як
,
то дійсна частина матиме вигляд:
а уявна частина рівна:
w |
P(w) |
Q(w) |
А(w) |
fi(w) |
0 |
433,100 |
0,000 |
433,1 |
0 |
0,001 |
432,524 |
-15,709 |
432,8096 |
-2,08009 |
0,002 |
430,807 |
-31,295 |
431,942 |
-4,15486 |
0,005 |
419,152 |
-76,140 |
426,0114 |
-10,2956 |
0,01 |
382,184 |
-138,969 |
406,666 |
-19,9822 |
0,02 |
282,193 |
-205,934 |
349,3452 |
-36,1206 |
0,05 |
97,845 |
-182,955 |
207,4758 |
-61,8621 |
0,1 |
26,971 |
-110,715 |
113,9528 |
-76,3091 |
0,2 |
4,319 |
-58,232 |
58,39199 |
-85,758 |
0,3 |
-0,139 |
-38,988 |
38,98794 |
89,79568 |
0,4 |
-1,702 |
-29,099 |
29,14875 |
86,65281 |
0,5 |
-2,408 |
-23,066 |
23,19151 |
84,04013 |
0,6 |
-2,771 |
-18,987 |
19,18794 |
81,69749 |
0,7 |
-2,968 |
-16,033 |
16,3054 |
79,5135 |
0,8 |
-3,074 |
-13,788 |
14,12598 |
77,43289 |
0,9 |
-3,125 |
-12,017 |
12,41703 |
75,42536 |
1 |
-3,140 |
-10,583 |
11,0388 |
73,47313 |
1,25 |
-3,087 |
-7,947 |
8,525992 |
68,77176 |
1,5 |
-2,962 |
-6,146 |
6,822854 |
64,26726 |
2 |
-2,626 |
-3,855 |
4,66443 |
55,7363 |
3 |
-1,927 |
-1,640 |
2,530759 |
40,40645 |
4 |
-1,377 |
-0,709 |
1,548603 |
27,24869 |
5 |
-0,988 |
-0,284 |
1,028049 |
16,02694 |
6 |
-0,720 |
-0,081 |
0,724421 |
6,448187 |
7 |
-0,534 |
0,016 |
0,533809 |
-1,76695 |
8 |
-0,402 |
0,063 |
0,407004 |
-8,85641 |
9 |
-0,308 |
0,083 |
0,318669 |
-15,0143 |
10 |
-0,239 |
0,089 |
0,254821 |
-20,3969 |
20 |
-0,032 |
0,039 |
0,05077 |
-50,5511 |
30 |
-0,008 |
0,016 |
0,017439 |
-62,8964 |
40 |
-0,003 |
0,007 |
0,007823 |
-69,4409 |
50 |
-0,001 |
0,004 |
0,004129 |
-73,4638 |
∞ |
0,000 |
0,000 |
0 |
0 |
Де
fi=arctg(Q(w)/ P(w))
Рис. 5.1 Годограф АФЧХ
За критерієм Найквіста система автоматичного управління стійка, бо годограф розімкненої системи не охоплює точку (-1; j0).
Побудуємо одиничне коло і визначимо запаси стійкості:
Рис. 5.2 Годограф АФЧХ
Запас стійкості системи за амплітудою це відстань між критичною точкою (-1; j0) і точкою перетину годографа розімкнутої системи W(jw) з дійсною від`ємною піввіссю:
Визначення запасу стійкості за амплітудою |
||||
w |
P(w) |
Q(w) |
А(w) |
fi(w) |
6,7 |
-0,583 |
-0,006 |
0,5827 |
0,569 |
6,712 |
-0,581 |
-0,005 |
0,5806 |
0,474 |
6,724 |
-0,579 |
-0,004 |
0,5785 |
0,379 |
6,736 |
-0,576 |
-0,003 |
0,5765 |
0,284 |
6,748 |
-0,574 |
-0,002 |
0,5744 |
0,189 |
6,76 |
-0,572 |
-0,001 |
0,5724 |
0,094 |
6,772 |
-0,570 |
0,000 |
0,5704 |
-0 |
6,784 |
-0,568 |
0,001 |
0,5684 |
-0,1 |
6,796 |
-0,566 |
0,002 |
0,5664 |
-0,19 |
6,808 |
-0,564 |
0,003 |
0,5644 |
-0,28 |
6,82 |
-0,562 |
0,004 |
0,5624 |
-0,38 |
Запас стійкості системи за амплітудою визначаємо коли φ=0
Азп=1 – А0=1 –0,5704=0,4296
де А0 – відстань від початку координат до точки перетину годографа з дійсною від`ємною піввіссю (Рис. 5.2)
Запас стійкості по фазі це кут φ між від’ємною піввіссю і променем, проведеним з початку координат в точку перетину кола одиничного радіуса з годографом W(jw).
Визначення запасу стійкості за фазою |
||||
w |
P(w) |
Q(w) |
А(w) |
fi(w) |
5,04 |
-0,975 |
-0,273 |
1,012713 |
15,61422 |
5,0465 |
-0,973 |
-0,271 |
1,010252 |
15,54739 |
5,053 |
-0,971 |
-0,269 |
1,007799 |
15,48064 |
5,0595 |
-0,969 |
-0,267 |
1,005354 |
15,41396 |
5,066 |
-0,967 |
-0,265 |
1,002918 |
15,34734 |
5,0725 |
-0,965 |
-0,264 |
1,00049 |
15,28079 |
5,079 |
-0,963089 |
-0,261924014 |
0,998071 |
15,21431 |
5,0855 |
-0,961 |
-0,260 |
0,99566 |
15,1479 |
5,092 |
-0,959 |
-0,258 |
0,993257 |
15,08156 |
5,0985 |
-0,957 |
-0,257 |
0,990862 |
15,01529 |
5,105 |
-0,955 |
-0,255 |
0,988475 |
14,94908 |
φ=arctg(Q(w)/ P(w))
Кут φ знаходимо з умови A(w)=1.
φзп15,280
Висновок: під час виконання завдання ми побудували годограф амплітудно-фазової характеристики розімкнутої системи і визначили запаси стійкості системи за амплітудою і фазою:
Азп=0,4296;
φзп 15,280
Цих запасів вистачає для нормальної роботи системи.