Модель эквидестантных пиков

Согласно теории, в преобразовании Фурье от нашего сигнала мы должны получать эквидистантные пики, т.е. все частоты пиков должны быть кратны частоте вращения системы . Если имеется сигнал , то в спектре сигнала будет пик на частоте . Форму пика можно описать:

-амплитуда пика, -ширина пика, - резонансная частота.

С помощью программы Mathcad была выполнена подгонка пиков в соответствии с теорией для спектра Фурье от сигнала при вращении, N=16, U=4.5В, следующим образом:

Аппроксимация производилась методом наименьших квадратов, используя процедуру Mathcad'а minimize, с алгоритмом минимизации Квази-Ньютона и точностью вычислений 10^-9. Сама функция строилась как сумма квадратов всех отклонений значений функции подгонки и точками в спектре Фурье(отклонения брались для точек, соответствующие одинаковым частотам). Функция подгонки, в свою очередь имела только одну независимую переменную частоту , остальные частоты брались кратными ей. Таким образом были найдены неизвестные аплитуды пиков, и их ширины, а также частота , наиболее лучшим образом повторяющие реальные данные.

На рис. 14 представлена полученная функция подгонки.

Далее была построена гистограмма полученных отклонений (рис.13). Видно, что гистограмма получилась сдвинутой относительно нуля. Значение такого распределения отклонений оказалось равной 281/167 = 1.68.

Рис.13. Гистограмма отклонений подгонки от спектра сигнала. Модель эквидестантных пиков. Вращение, N=16, U=4.5.

Рис.14. Спектр фурье(точки), и его подгонка. Модель эквидестантных пиков.

Вращение, N=16, U=4.5.

Модель независимых частот

Также как и предыдущей модели эквидестантных пиков, апроксимируем методом наименьших квадратов, только на этот раз функция подгонки уже имеет независимо подгоняемую частоту для каждого отдельного пика.

На рис. 16 представлена полученная функция.

Гистограмма полученных отклонений представлена на рис.15. Получили , равное 156/141 = 1.11. Также видно, что среднее значение отклонений заметно улучшилось. Это означает, что рассматриваемая модель лучше описывает реальные данные, чем модель эквидестантных пиков. Данный метод аппроксимации очень точен и полученная погрешность получилась порядка 0.02 Гц, а сами измеренные частоты оказались порядка 150 Гц. Все это говорит о том, что пики в спектре Фурье не являются эквидестантными.

Рис.15. Гистограмма отклонений подгонки от спектра сигнала. Модель независимых частот. Вращение, N=16, U=4.5.

Рис.16. Спектр фурье(точки), и его подгонка. Модель независимых частот.

Вращение, N=16, U=4.5.

Замечания

В ходе эксперимента не удалось явно узнать, вышли ли цилиндрические магниты на орбиту. Для того чтобы это узнать, можно провести следущие эксперименты с видеокамерой с частотой 10^6 кадров в секунду, тогда это будет замечено на снимках. Когда магниты выходят на орбиту, на них перестает действовать сила трения со стороны основного магнита, а значит также можно узнать об этом по декременту собственных затуханий (он должен резко упасть).

Выводы

• Выявлено отклонение от теории об эквидестантности пиков в спектре Фурье для данной систеиы.

• Измерены: вторая космическая скорость для маленького цилиндрического магнита в данной системе 8.9 0.25м/с; сила взаимодействия тороидального магнита с цилиндрическим 2.41 0.11Н; энергия этого взаимодействия 0.052 0.003Дж.