Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что такое множество? Элементы множества?

2. Что такое диаграммы Эйлера-Венна и как они строятся?

3. Какие операции можно совершать над множествами и как они изображаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна?

4. Перечислите свойства операций над множествами.

5. Что такое отображение множеств и для чего оно нужно?

6. Что такое прообраз?

7. Область определения и множество значений отображения.

8. Сюръективное, инъективное и биективное отображение множеств.

3. Элементы комбинаторного анализа

Комбинаторика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения, например, в информатике и статистической физике. Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

a.размещение,

b. перестановки,

c. сочетания.

Размещением из n элементов по m называется упорядоченный набор из m различных элементов некоторого n-элементного множества. Число размещений из n элементов по m обозначается .

=

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).

(n) = n^m.

Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной. Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановкой из n элементов (обычно чисел 1,2,…, n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначается P_n.

P = n!

Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k₁ элементов первого типа, k₂ элементов второго типа и т.д., k_s элементов s-го типа, причем k₁ + k₂ + ... + k_s = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается C_n(k₁, k₂, ..., k_s). Числа C_n(k₁, k₂, ..., k_s) называются полиномиальными коэффициентами.

C_n(k₁, ..., k_s)=

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Их число обозначается .

Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число  mn) называется сочетанием с повторением.

Число сочетаний с повторениями обозначается .

.

Принцип суммы: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B” может быть осуществлен m + n способами.

Принцип произведения: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен m  n способами.

Бином Ньютона – формула, позволяющая выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665:

Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n – положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом m > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. Такие частные случаи, как (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ были известны задолго до Ньютона.

При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля:

n = 0	1
n = 1	1	1
n = 2	1	2	1
n = 3	1	3	3	1
n = 4	1	4	6	4	1
n = 5	1	5	10	10	5	1
n = 6	1	6	15	20	15	6	1

В общем случае:

где

.

Если положить a = b = 1, то из формулы бинома Ньютона вытекает следующее соотношение:

(1+1)ⁿ = -

формула суммы биноминальных коэффициентов.

Если положить a = 1, b = -1, то

Поскольку , то биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от концов в формуле бинома Ньютона, равны.